Evaluar $\lim_{x\to \infty} \frac{\tan^{2}(\frac{1}{x})}{(\ln(1+\frac{4}{x}))^2}$

Question

$$\lim_{x\to \infty} \frac{\tan^{2}(\frac{1}{x})}{(\ln(1+\frac{4}{x}))^2}$$

Me encontré con este problema y estoy teniendo problemas con la evaluación. Sé que todo el límite será probablemente el de $0$, y que tanto el numerador y el denominador enfoque de $0$.

¿Cómo evaluar? El uso de L'Hospital de la regla conduce a expresiones complejas, por lo que no creo que es un buen método.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Esto también es bastante fácil sin el uso de la expansión de taylor.

$$L=\lim_{x\to\infty}\frac{\tan^2(1/x)}{\ln^2(1+4/x)}=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{\tan(1/x)}{\ln(1+4/x)}\right)^2$$

Deje $u=1/x$.

$$\sqrt L=\lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{\ln(1+4u)}=\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{\cos(u)\ln(1+4u)}$$ $$=\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{\ln(1+4u)}$$

Ahora podemos aplicar L'Hospital.

$$\sqrt L=\lim_{u\to 0}\frac{1}{4}\cos(u)(4u+1)=\frac 1 4$$

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\tan^2(1/x)}{\ln^2(1+4/x)}=\frac{1}{16}$$

Answer 2

Sugerencia: Hay dos límites que no son difíciles de calcular con L'Hôpital. Ellos harán el cómputo de este límite bastante fácil. $$ \lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{x}=1 $$ y $$ \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1 $$

Answer 3

Sugerencia: Utilizar la serie de Taylor tenemos $$\frac{\tan^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{\log^{2}\left(1+\frac{4}{x}\right)}=\frac{1/x^{2}+O\left(1/x^{6}\right)}{16/x^{2}+O\left(1/x^{4}\right)}.$$

Answer 4

Junto a la buena pista robjohn dio , una vez más, la expansión de Taylor hacer la vida más simple $$A=\frac{\tan^{2}(\frac{1}{x})}{(\ln(1+\frac{4}{x}))^2}$$ Since $x\to \infty$, change $x=\frac 1y$ and consider $$A=\frac{\tan^{2}(y)}{(\ln(1+4y))^2}=\left(\frac{\tan(y)}{\ln(1+4y)}\right)^2$$ Now, close to $y=0$, you know that $\tan(y)\aprox y$ and $\log(1+4y)\aprox 4y$.

Estoy seguro de que usted puede tomar a partir de aquí.