¿Cómo es la notación $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ¿leer? ¿Es $X$ sigue ¿una distribución normal? O $X$ es ¿una distribución normal? O tal vez $X$ es aproximadamente normal..
¿Y si hay varias variables que siguen (o como se diga) la misma distribución? ¿Cómo se escribe?
Porque la distribución normal puede ser multivariable. Puede ser de un solo valor, también se puede generalizar a $n$ dimensiones.
En cuanto al uso de símbolos $\sim$ ("sigue", "se distribuye según "), y $\approx$ ("iguala aproximadamente"), véase esta respuesta . Así es como se utilizan los símbolos al menos en Estadística/Econometría.
En cuanto a las convenciones de anotación de una distribución, lo normal es un caso límite : normalmente escribimos el definición de parámetros de una distribución junto a su símbolo, los parámetros que permitirán escribir correctamente su función de distribución acumulativa y su función de densidad de probabilidad/masa. No anotamos los momentos, que suelen ser una función de estos parámetros, pero no son iguales.
Así que para un uniforme que va en $[a,b]$ escribimos $U(a,b)$ . La media de la distribución es $(a+b)/2$ mientras que la varianza es $(b-a)^2/12$ . Para una Gamma (parametrización a escala de la forma), escribimos $G(k,\theta)$ . La media es $k\theta$ y la varianza $k\theta^2$ . Etc.
En el caso de la distribución normal, el parámetro $\mu$ resulta ser también la media de la distribución, mientras que el parámetro $\sigma$ resulta ser la raíz cuadrada de la varianza. Tengo la impresión (posiblemente errónea) de que en los círculos de ingeniería se ve más a menudo $N(\mu, \sigma)$ (que se ajusta a la regla general de anotación), mientras que en los círculos de Econometría casi siempre se ve $N(\mu, \sigma^2)$ (que cae en la tentación de proporcionar los momentos, tratando $\sigma^2$ como parámetro base y no como el cuadrado del mismo).
EDITAR: Mi respuesta anterior no respondía a la pregunta real. Lo que sigue es un intento de respuesta más directa.
¿Cómo es la notación $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ¿leer?
En otras respuestas ya se dice lo que significa la notación, es decir, que $X$ es una variable aleatoria normalmente distribuida con alguna media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ . La respuesta de Dilip también da cuenta de otras posibles interpretaciones cuando la notación es menos clara que $\sigma^2$ Por ejemplo, para los parámetros generales $\{a,b\}$ , a saber. $X\sim N(a,b)$ .
Siempre que veo esta notación en un texto tiendo a leerlo de forma que tenga sentido gramaticalmente. Afirmo que ésta es la forma más sensata de tratar la notación. Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es que, sabiendo lo que la notación significa matemáticamente, simplemente la lees de la forma que se ajuste al texto. He aquí dos ejemplos:
(1) Que $X \sim N(a,b)$ ...
(2) Considere tres variables aleatorias independientes, $X\sim N(0,1), Y\sim N(1,2), Z \sim Exp(\lambda).$
En (1) lo leo como (por ejemplo) "Que $X$ estar normalmente distribuido con media a y varianza b...", y en (2) lo leo como "... $X$ es el estándar normal...".
¿Sigue X una distribución normal?
Sí, eso también funciona. Mucha gente lo dice así, aunque quizá quieras incluir la media y la varianza que caracterizan la distribución.
¿O X es una distribución normal?
No, eso es incorrecto. Véase esta vieja respuesta de la mía para saber qué es una distribución.
O tal vez X es aproximadamente normal ..
No, eso también es incorrecto. Hay otras formas de indicarlo. Como se señala en los comentarios, $\overset{\cdot}{\sim}$ es uno de ellos.
¿Y si hay varias variables que siguen (o como se diga) la misma distribución? ¿Cómo se escribe?
Si todos son independientes, una forma fácil de escribir esto es $X_i \overset{iid}{\sim} N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\dots n$ Dado que usted tiene $n$ (iid significa independiente e idénticamente distribuido). Si no son independientes, se puede decir que $X_i, i=1,2,\dots,n$ son posiblemente dependientes, pero (marginalmente) idénticamente distribuidos como $N(\mu,\sigma^2)$ . O puede que tengas que declarar su distribución conjunta -- eso depende del propósito que tengas para considerar las variables aleatorias.
Si son conjuntamente normales, es fácil escribir que $\mathbf X :=(X_1,\dots,X_n)'\sim N(\mu, \Sigma)$ para caracterizar completamente su distribución conjunta utilizando algún vector de media $\mu$ y la matriz de covarianza $\Sigma$ .
En general, se puede definir cualquier función de distribución multivariante $F$ y luego escribir que $\mathbf X \sim F$ .
La dificultad no estriba en saber qué $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ medios. Incluso $\mathcal N(3,5^2)$ es razonablemente inequívoco para la mayoría de la gente que significa una variable aleatoria normal con media $3$ y la varianza $5^2$ o desviación $25$ (los puristas deben creer que la desviación estándar es una parámetro fundamental que la varianza deberían decir libremente "desviación estándar $5$ " en su lugar). Sin embargo, lo que se entiende por $\mathcal N(a,b)$ Por ejemplo $\mathcal N(3,25)$ está sujeta a por lo menos tres convenciones diferentes con respecto a la varianza o desviación estándar desviación estándar. Las tres convenciones coinciden en que la $\mathbf 3$ es el media $\mu_X$ de $X$ pero el $\mathbf 25$ tiene diferentes significados para diferentes personas.
$X \sim \mathcal N(\star,25)$ significa que el desviación estándar de $X$ es $25$ .
$X \sim \mathcal N(\star,25)$ significa que el desviación de $X$ es $25$ .
$X \sim \mathcal N(\star,25)$ significa que el desviación de $X$ es $\dfrac{1}{25}$ .
Ver esta pregunta y los comentarios que siguen para conocer algunos detalles.
¿quién, además de usted, ha tenido alguna vez la interpretación de que el 2º parámetro de una Normal es el inverso de la varianza? Es la primera vez que recuerdo haber visto algo así.
@MarkL.Stone Por favor, no pongas en duda mi veracidad. Si te hubieras molestado en seguir el enlace que he incluido en mi respuesta y leer los comentarios, habrías visto que el moderador whuber dijo "Otros, especialmente en un contexto bayesiano, incluso parametrizan las normales por su precisión, como en $N(\mu,1/\sigma^2)$ ." y el cardenal moderador dijo "también están los parámetros naturales de la normalidad que probablemente parezca poco natural para la mayoría". Estos "parámetros naturales" surgen cuando la distribución normal se define como un miembro de la familia exponencial de las distribuciones.
$X$ es una variable aleatoria " $X$ ";
$\sim$ se lee "se distribuye como";
$N$ se lee "Normal";
$\mu$ se lee "con media $\mu$ "(la convención es que la primera entrada después del paréntesis abierto es la media, y la segunda es la varianza o la desviación estándar, dependiendo de la notación - ver más abajo); y
$\sigma^2$ se lee "con varianza $\sigma^2$ (o desviación estándar $\sigma^2$ , dependiendo del uso del autor/usuario. En este caso, supongo que es con varianza $\sigma^2$ .
Poniendo todo junto, tienes una variable aleatoria $X$ que se distribuye como Normal con una media "mu" ( $\mu$ ) y la varianza "sigma al cuadrado" ( $\sigma^2$ ).
También puede decir $X$ sigue una normalidad. . .
Si varias variables siguen la misma distribución, se puede representar de varias maneras, pero es posible que se quiera indexar las variables de $i=1$ a $n$ . Entonces podrías escribir, $X_i\sim N(\mu, \sigma^2)$ , para $i=1$ a $n$ .
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$X\sim N(\mu,\sigma)$ debe ser $X\sim N(\mu,\sigma^2)$
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@mandata eso (por desgracia) depende de a quién le preguntes. Muchos autores utilizan $\sigma$ tanto en la definición como en la notación.
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Prefiero $\sigma$ a mí mismo, pero va a contracorriente.
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La notación común es que " $\sim$ " significa distribuido como, " $\dot \sim$ " (nótese el punto) significa aproximadamente distribuido como.
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Es $(X,Y)\sim N(\mu,\sigma^2)$ ¿la notación correcta con respecto al segundo punto?
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Así que, $X$ se distribuye como una distribución normal ?
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Es más agradable escribir $\mathcal N(\mu, \sigma^2)$ y no $N(\mu, \sigma^2)$ . Eso es
\mathcal N.0 votos
@amoeba ¿por qué?
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@Student001, porque es más bonito y porque es estándar ( es.wikipedia.org/wiki/Distribución_normal#Notación ). $N$ se parece a cualquier otra letra. $\mathcal N$ se reconoce inmediatamente como una distribución normal.
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@amoeba bueno, mi punto es que la primera parte es sólo su preferencia personal, y la parte de que es estándar no es cierto. La N mayúscula es una notación común.