Álgebra lineal: determinar si los conjuntos que abarcan el mismo subespacio

Question

Así que estoy atascado en 51 aquí:

51. Determinar si los conjuntos de $S_1$ $S_2$ abarcan el mismo subespacio de $\mathbb{R}^3$: $$\begin{align*} S_1 &= \Bigl\{ (1,2,-1),\ (0,1,1),\ (2,5,-1)\Bigr\}\\ S_2 &= \Bigl\{ (-2,-6,0),\ (1,1,-2)\Bigr\} \end{align*}$$

Lo que hice para solucionarlo fue multiplicar cada vector en el conjunto de $S_1$$C$, agregar los vectores juntos y llevarlos a cero. Una vez que he reducido la matriz resultante obtuve el siguiente resultado: $$\begin{align*} c_1&=-2t\\ c_2&=-t\\ c_3&=t \end{align*}$$

Por lo que este resultado sería linealmente dependiente. Luego hice lo mismo para el segundo juego y tengo que $c_1=c_2=0$, lo que significa que es linealmente independiente. En conclusión, me dijo que establezca $S_1$ $S_2$ no abarcan el mismo subespacio de $\mathbb{R}^3$. El libro dice que lo hacen. Alguien podría señalar dónde me salió mal?

Gracias.

Answer 1

Dos conjuntos de vectores en el mismo espacio vectorial, $S_1$$S_2$, abarcan el mismo subespacio si y sólo si:

• Cada vector en $S_1$ se puede escribir como una combinación lineal de los vectores en $S_2$; y
• Cada vector en $S_2$ se puede escribir como una combinación lineal de los vectores en $S_1$.

Puede haber formas de inferir de estas propiedades, sin que en realidad muestra a ellos directamente (como dimensión argumentos liike user6312 sugiere), pero en realidad termina hacia abajo para mostrar este posee o que este no puede sostener.

Tenga en cuenta que estas condiciones no son intrínsecas: casi nunca es suficiente para simplemente mirar a $S_1$ sin pensarlo $S_2$, y luego mirar a $S_2$ sin mirar a $S_1$; sólo en circunstancias muy extremas. que esto es suficiente (cuando se puede demostrar que los "tamaños" de los tramos no coinciden, una dimensión argumento) que este puede llegar a ser suficiente.

Tan sólo averiguar si los conjuntos son linealmente dependientes o independientes no es suficiente en este caso.

Así: $(-2,-6,0)$ $(1,1,-2)$ cada una de las combinaciones lineales de $(1,2,-1)$, $(0,1,1)$, y $(2,5,-1)$? Sí: usted puede intentar la solución de los dos sistemas de ecuaciones lineales: $$\begin{align*} \alpha_1 \left(\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right) + \beta_1\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right) + \gamma_1\left(\begin{array}{r}2\\5\\-1\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{r}-2\\-6\\0\end{array}\right)\\ \alpha_2 \left(\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right) + \beta_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right) + \gamma_2\left(\begin{array}{r}2\\5\\-1\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right) \end{align*}$$ y a ver si cada uno de ellos tiene soluciones. (Se pueden hacer dos cosas a la vez, haciendo una reducción de la fila en $$\left(\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & 2 & -2 & 1\\ 2 & 1 & 5 & -6 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 0 & -2 \end{array}\right).$$ Si el sistema no tiene soluciones, entonces usted sabe que no todos los vectores en $S_2$ está en el intervalo de $S_1$ y listo; si ambos sistemas tienen soluciones, entonces cada vector en $S_2$ está en el intervalo de $S_1$, lo $\mathrm{span}(S_2)\subseteq \mathrm{span}(S_1)$.

Entonces usted necesita para ver si el recíproco de inclusión se tiene: es cada vector en $S_1$ una combinación lineal de los vectores en $S_2$? Es decir, podemos resolver los tres sistemas de ecuaciones lineales? $$\begin{align*} \rho_1\left(\begin{array}{r}-2\\-6\\0\end{array}\right) + \sigma_1 \left(\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right)\\ \rho_2\left(\begin{array}{r}-2\\-6\\0\end{array}\right) + \sigma_2 \left(\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{r}0\\1\\1\end{array}\right)\\ \rho_3\left(\begin{array}{r}-2\\-6\\0\end{array}\right) + \sigma_3 \left(\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{r}2\\5\\-1\end{array}\right) \end{align*}$$ Si podemos resolver todo, entonces cada vector en $S_1$ está en el intervalo de $S_2$, lo $\mathrm{span}(S_1)\subseteq \mathrm{span}(S_2)$; junto con la anterior la inclusión, esto mostraría los intervalos son iguales. Si algunos ecuación no se puede resolver, entonces no todos los vectores en $S_1$ está en el intervalo de $S_2$, por lo que los tramos son diferentes.

(Hay una cosa que se puede rescatar de sus esfuerzos: desde que se demostró que el conjunto de $S_1$ es linealmente dependiente, usted puede extraer un conjunto linealmente independiente (en este caso, por ejemplo, los dos primeros vectores), y reemplace $S_1$ con ese conjunto de dos vectores (debido a que el tercer vector es una combinación lineal de las dos primeras). Eso significa que la comprobación de que "todos los vectores en $S_1$ es una combinación lineal de los vectores en $S_2$" y la comprobación de que "todos los vectores en $S_2$ es una combinación lineal de los vectores en $S_1$" va a ser más sencillo: en lugar de comprobar los cinco cosas, sólo se necesita comprobar cuatro.)

Answer 2

Dos conjuntos puede abarcar el mismo subespacio incluso si uno es dependiente y la otra no.

Para resolver este tipo de problemas puede probar, por ejemplo, ver si cada elemento de a $S_2$ es una combinación lineal de los elementos de $S_1$ y viceversa. Si lo son, los conjuntos que abarcan el mismo espacio.

Answer 3

Los inicios de su estrategia son muy razonables. Si había convertido en la recogida de $S_1$ fue linealmente independiente, entonces tendría que haber sabido que el espacio atravesado por $S_1$ tiene dimensión $3$, es decir, es la totalidad del espacio. El espacio atravesado por $S_2$ debe tener dimensión $\le 2$, de hecho, exactamente $2$. Así que si $S_1$ había resultado ser un conjunto linealmente independiente, usted podría tener de inmediato a la conclusión de que los subespacios distribuidos son diferentes, ya que habrían dimensión diferente.

Por desgracia, resultó que el conjunto de $S_1$ es linealmente dependiente, por lo que una simple dimensión argumento no va a resolver el problema.

Pero ahora es fácil ver que ambos espacios se $2$-dimensional, son planos por el origen. Si usted puede demostrar que las dos vectores en $S_2$ cada uno en el lapso de $S_1$, lo que significa que los dos espacios son el mismo. Si usted puede demostrar que al menos uno de los vectores en $S_2$ no $S_1$, usted sabrá que los espacios no son los mismos.

La comprobación de esto sólo cuestión de mirar algunas de ecuaciones lineales, pero usted puede ser capaz de globo ocular cosas. Por ejemplo, el segundo vector en $S_2$ es la diferencia entre los dos primeros vectores en $S_1$. Y el primer vector de $S_2$ es (aparte de la ampliación) la suma de los dos primeros vectores en $S_1$. Para que los espacios son los mismos.

Ya que estamos en el $3$-espacio, podría alternativamente, mediante el cálculo de la cruz-productos, muestran que los dos planos son perpendiculares a la misma línea, y, ya que ambos pasan por el origen, son el mismo plano.

Answer 4

Hay muchas maneras de acercarse a este tipo de preguntas, según la cantidad de una de ellas depende de métodos mecánicos vs intuitivo enfoques.

Tal vez la mayoría de los mecánicos manera de abordar esta pregunta es literalmente de Gram-Schmidt a estos chicos a la muerte (ya que esto elimina redundante vectores, es decir, vectores linealmente dependiente, es decir, los vectores que ya están distribuidos en los vectores ya se considera). Por ejemplo, después de que uno realiza G-S en el primer conjunto de vectores, sólo estamos a la izquierda con 2 vectores de la base (la tercera es destruido). Continuando con esto, podemos borrar el segundo conjunto de vectores con estos dos vectores de la base. (Se nota que el segundo conjunto de vectores, considerados por separado, son linealmente independientes, y así abarcar un espacio de 2 dimensiones).

Pero, ¿qué tiene esto de lograr? Es sólo una forma mecánica de forma explícita escribiendo cada vector en términos de otros vectores. Así que, literalmente, muestran que algo escrito en una base puede ser escrito en el otro. Eso no es tan emocionante.

Supongamos que queremos hacer de manera diferente: podemos ver rápidamente que la dimensión del espacio abarcado por el primer conjunto es de 2, y la dimensión del espacio abarcado por el segundo conjunto es de 2. Estos son los llamados espacios lineales, que está a la mano. Esto significa que si encontramos 2 vectores linealmente independientes contenidas en ambos espacios, que son los mismos. Mientras que en un sentido, podríamos elegir sólo de los dos primeros vectores y ver si están en el segundo espacio, esto también significa que podemos elegir cualquier combinación lineal de los dos primeros vectores así. Así que es un poco más general.

De manera diferente: cada subespacio lineal es de 2 dimensiones, es decir, un plano que pasa por el origen (es un espacio lineal, de manera que contiene el origen). Usted podría encontrar la ecuación del plano generado por los dos primeros vectores y compararlo con el plano generado por los dos vectores en el segundo set. Son los mismos (los múltiplos de cada uno de los otros). ¿Cómo se hace esto? Tomar la cruz de los productos! (si usted sabe de ellos es que es muy muy sencillo).

De manera diferente aún: después de darse cuenta de que cada subespacio es de 2 dimensiones, tirar todos los 5 vectores en una matriz fila y reducir. Si los 2 son de izquierda, son la misma. Si hay 3 o más, entonces no es el mismo. A lo largo de las mismas líneas, uno podría (aunque no debería, para ser honesto) proceder con los determinantes. Forma una matriz cuya primera y la segunda filas son los vectores de la primera serie, y cuya tercera fila es el primer vector de la segunda serie. Formulario de otro cuya tercera fila es el segundo vector de la segunda serie. Tomando determinantes, vamos a ver que ambos son los factores determinantes de cero!!! Esto significa que las 3 dimensiones de volumen de estos dos parallelopipeds es cero, es decir, que se acueste! Si que se acueste, sus lados deben ser linealmente dependientes, y puesto que ambos vectores de la segunda serie son dependientes en el primer set, que se extienden por el mismo subespacio.

De manera diferente: encontrar un vector no se extendió en el primer set, encontrar el componente ortogonal a la primera subespacio, y el punto de este componente ortogonal con cada vector en el segundo set. Obtendrá 0 en ambas ocasiones, lo que significa que los dos subespacios tienen el mismo complemento ortogonal, y por lo tanto son la misma. Como alternativa, tomar el producto cruz de dos vectores en el primer set y punto el resultado con cada vector en el segundo set. Obtendrá 0 de nuevo, y esta no tiene la carga de encontrar ortogonal complementa en cualquier ingenioso o proyectiva de la moda.

De manera diferente: hacerlo de forma heurística! Por rodar una feria de 24 lados morir (llamado deltoidal icositetrahedron) en repetidas ocasiones, generar un conjunto aleatorio de alrededor de 9 puntos en 3 espacio. Encontrar la línea de mejor ajuste y proyecto en estos dos espacios. Obtendrá la misma proyecciones! Después de hacer esto un par de veces, usted puede esperar que esto siempre funciona! Epílogos, muestran que a medida que estos 9 puntos están siempre en celosía puntos, al menos 1 de los 36 segmentos de unirse a estos 9 puntos contienen una red de punto. Va a afilar sus habilidades con el encasillamiento de las ideas.

De manera diferente todavía, y por último: la conjetura. Cuando I TA d álgebra lineal, mis alumnos sería tirar todo lo que podía en matrices a y la fila-reducirlos, escribir un par de cosas sobre el rango y la nulidad, y resolver un sistema de ecuaciones lineales (si pide o no) en cada pregunta. Literalmente, incluso este. Cuando se dieron cuenta de que no es lo que yo pedí, sino que iba a escribir un par de líneas ilegibles de trabajo, dibujar un gran $\Longrightarrow$, y decir algo como "Claramente, ellos no ocupan el mismo espacio" o "Obviamente, que abarcan el mismo espacio." Para algunos otros TAs, que había que darle crédito parcial. Al menos me dio una risa.

Hablando en serio, si a usted le gusta explicar alguno de estos, que me haga saber. Todos ellos trabajan realmente. Y sí, fue todo un hilo. Pero he estado fuera por un par de semanas, y yo tenía que decir hola de alguna manera!