Verificación de $\int_0^\pi \sin(x) /2(\sin(x/(2n+1)) \,dx \leq \pi$

Question

Tengo problemas para verificar esta desigualdad. Dice así (aparece en Giaquinta, Análisis matemático, estructuras lineales y métricas, página 445): $$ \int_{0}^{\pi} \cfrac{\sin(x)}{\sin\left(\frac{x}{2n+1}\right)} dx \leq\frac{ 2(n+1)\pi}{2n+1} \leq 2\pi $$ Por supuesto, la última desigualdad es obvia. La primera, sin embargo, no puedo mostrarla. He intentado acotar $\sin(x)$ por $1$ y luego calcular la integral con mathematica, pero sale sin límites. Cuando pongo $n=1,2,3...$ o cualquier número finito en matemáticas, el resultado es numéricamente verdadero, pero quiero mostrar esto para cualquier " $n$ ", y mathematica me da una función muy complicada (dependiendo de $n$ ) con unidades imaginarias y funciones hipergeométricas. Supongo que se me escapa un argumento muy sencillo. ¿Alguna idea?

Editar: He editado para que la fórmula sea idéntica a la del libro.

Answer 1

Giaquinta y Modica tienen razón, aunque se equivocan. Me explico: el libro sugiere calcular $G_n \left( \frac{2 \pi}{2n+1} \right)$ , donde $$ G_n(x) = \int_0^x D_n(t)\, dt $$ y $D_n$ es el núcleo estándar de Dirichlet. En su cálculo hay un error muy estúpido: ¡cambian de variable y se olvidan de cambiar la diferencial! Aquí hay una versión corregida de su fórmula en la página 445: $$ \begin{align*} \|G_n\|_\infty &= G_n \left( \frac{2 \pi}{2n+1} \right) = \int_0^{2\pi/(2n+1)} \frac{\sin (n+1/2)s)}{\sin (s/2)}ds\\ &= \frac{2}{2n+1} \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sin \frac{t}{2n+1}}dt \leq \frac{2}{2n+1} \cdot (2n+1)\pi = 2\pi. \end{align*} $$ Hemos aprovechado el hecho de que $t \mapsto \frac{\sin t}{\sin \frac{t}{2n+1}}$ es decreciente, por lo que siempre es menor que su límite como $t \to 0^+$ .

Espero que mi respuesta sea útil.