¿por qué queremos utilizar el espacio grassmanniano?

Question

Me pregunto qué tiene de especial el espacio grassmanniano. ¿Por qué queremos utilizar este espacio?

En la wikipedia dice:

"Dando a una colección de subespacios de algún espacio vectorial una estructura topológica, es posible hablar de una elección continua de subespacio o de colecciones abiertas y cerradas de subespacios; dándoles la estructura de un colector diferencial se puede hablar de elecciones suaves de subespacio. " Como estudiante con pocos conocimientos en geometría diferencial, me costó captar su significado.

¿Podría alguien darme alguna intuición más para entenderlo?

Gracias.

Answer 1

He aquí dos ejemplos:

En primer lugar, suponga que tiene una región en $\mathbb R^n$ y desea estudiar el $k$ -de sus proyecciones sobre todas las posibles $k$ -subespacios dimensionales de $\mathbb R^n$ . Esto define una función en el Grassmanniano $G(k,n)$ de $k$ -aviones en $\mathbb R^n$ . Incluso podría querer integrar esa función y obtener la sombra media de la región.

En segundo lugar, tal vez el más fundamental, suponga $M\subset\mathbb R^n$ es un submanifold liso. Podemos definir el mapa de Gauss $M\to G(k,n)$ que asigna a cada punto $p$ de $M$ su plano tangente $T_pM$ . Las propiedades de este mapeo son fundamentales en la geometría diferencial, y se pueden demostrar teoremas profundos estudiando el entorno universal del haz vectorial "tautológico" $\xi\to G(k,n)$ .

Answer 2

Considere $G(1,K^3)$ , donde $K$ es un campo. Esto toma la colección de líneas que pasan por el origen en el espacio 3D del campo y las convierte en puntos, pero también preserva la incidencia. Así que toma los planos que contienen esas líneas y los convierte en una línea que contiene todas las líneas originales como sus puntos. Imagina el conjunto de líneas que pasan por el origen de un plano. Aunque hay una por cada pendiente del plano, éste también tiene una línea vertical inclinada. Por lo tanto, la línea en la que se convierte cada plano tiene un punto más sobre las líneas en un $K$ -espacio vectorial. Esta es una línea proyectiva en la que se ha convertido el plano. Pero además, para cada plano que pasa por el origen en el espacio original, hay una línea de intersección entre ellos, por lo que hay un punto de intersección en las líneas del Grassmanniano. Este Grassmannian es el plano proyectivo para ese campo.

La conexión con los grassmanianos generales es que, cuando tu ojo recibe imágenes, está clasificando los rayos de luz que pasan por tu ojo, y tratando cada clase, o ángulo desde el que puede incidir la luz, como un punto. Y en general, si algo sólo puede detectar un objeto geométrico hasta una clase del subespacio al que pertenece, en el detector surgirá una geometría diferente a la de la realidad que está modelando.

A partir de aquí varias motivaciones pueden llevar a uno a interesarse por los grassmanianos que toman subespacios superiores como equivalentes a la vez.

Si se desea ver objetos en 4D, se suele hacer primero la proyección en 3D y luego otra proyección de 3D a 2D. ¿Puede uno, en cambio, clasificar los planos de 4D como un todo, y eso le dará un medio diferente de visualización, tal vez más natural? Tal vez sólo se quiera encontrar interacciones interesantes entre las diferentes dimensiones del espacio. Los grassmanianos son una forma de simular que los sentidos tienen una relación dimensional diferente con el espacio que los rodea.

Con frecuencia, se investigan las formas de clasificar completamente un tipo de objeto. Esto sirve para ver qué fenómenos son posibles en un campo de estudio. Pero en lugar de basarse en una simple taxonomía basada en las propiedades observadas, cabe preguntarse si existe realmente un espacio en el que los objetos estudiados se sitúan de forma natural, un espacio clasificatorio para un conjunto de invariantes.

Y por espacio se puede hablar de un sistema de coordenadas, una forma de moverse entre diferentes clases de objetos (como uno puede moverse entre polinomios cuadráticos o los valores de sus raíces escalando sus coeficientes), y se puede hablar de topología, una conexión o región común de variación entre algunos de los objetos y quizás no otros. O tal vez el espacio tenga agujeros literales donde no se observan los fenómenos, donde se pueden ver algunos límites para propiedades como la curvatura o la irregularidad de los objetos. Eso permite hablar de estas limitaciones como extremos variacionales, lo que cambia la relación con los resultados sobre lo que es y no es posible al reunir muchas respuestas justas en un solo límite físico. Y tal vez incluso se pueda tomar la dirección en la que se mueven las restricciones cuando alcanzan sus límites y derivar la dirección en la que habría que generalizar el objeto para obtener objetos que adopten esas propiedades prohibidas.

Así que, desde este punto de vista, los grassmanianos son las soluciones más sencillas al problema general de la construcción de espacios clasificadores y espacios de módulos en particular, y de hecho muchas de las construcciones que la gente adopta para este tipo de espacios están motivadas por tomar el comportamiento de los grassmanianos como principios de cómo deberían comportarse los espacios clasificadores.