Un problema en la teoría de la probabilidad

Question

Yo estaba tratando de resolver un problema y me quedé atrapado en el penúltimo paso (creo).

Yo podría mostrar que Var(X) = Var(Y) = Cov(X,Y), donde X e y son variables aleatorias con finito de medias y varianzas.

Basado en la declaración anterior, puedo decir que X e y son el mismo? o P(X=Y) = 1?

Answer 1

Usted necesitará la siguiente resultado.

Lema. Si $\mathrm{Var}[Z]=0$,$Z=\mathrm{E}[Z]$, casi seguramente.

Prueba (verificación del cardenal comentario para una contrapositivo argumento). Es fácil comprobar que $$ \left\{ Z = \mathrm{E}[Z] \right\} = \bigcap_{n\geq 1} \left\{ |Z - \mathrm{E}[Z]| < \frac{1}{n} \right\} \, . $$ Por Tchebyshev la desigualdad, tenemos $$ P \left\{ |Z - \mathrm{E}[Z]| \geq \frac{1}{n} \right\} \leq n^2 \mathrm{Var}[Z] = 0 \, , $$ para cada $n\geq 1$. Por lo tanto, el uso de De Morgan de la identidad y de la subadditivity de $P$, tenemos $$ P\left\{ Z = \mathrm{E}[Z] \right\} = 1 - P\left(\bigcup_{n\geq 1} \left\{ |Z - \mathrm{E}[Z]| \geq \frac{1}{n} \right\}\right) \geq 1 - \sum_{n\geq 1} P\left\{ |Z - \mathrm{E}[Z]| \geq \frac{1}{n} \right\} = 1 \, , $$ como se desee.

El uso de las sugerencias dadas por el cardenal y whuber, usted tiene lo que usted necesita.

La proposición. Si $X$ $Y$ son integrables variables aleatorias tales que $$\mathrm{Var}[X] = \mathrm{Var}[Y]=\mathrm{Cov}[X,Y] \, ,$$ then $X=Y+c$, almost surely, where the constant $c=\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y]$.

Prueba. La definición de $Z=X-Y$, la fórmula para la varianza de la diferencia de dos variables aleatorias da $$ \mathrm{Var}[Z]=\mathrm{Var}[X]+\mathrm{Var}[Y]-2\,\mathrm{Cov}[X,Y] = 2\,\mathrm{Cov}[X,Y] -2\,\mathrm{Cov}[X,Y] = 0 \, . $$ El Lema se obtiene el resultado deseado, ya que $\mathrm{E}[Z]=\mathrm{E}[X-Y]=\mathrm{E}[X]-\mathrm{E}[Y]$.