pregunta acerca de la típica la prueba de Krull Teorema de la Intersección

Question

En Atiyah-Macdonald, en la prueba del Teorema 10.17 (Krull la intersección del teorema), los autores pasan a través de un 4-línea de la cadena de argumentos para demostrar que el kernel $E=\bigcap_{n=1}^{\infty}\mathfrak a^nM$ $M\to\hat M$ satisface $\mathfrak aE=E$. Cuando la comprobación de algunas otras fuentes (por ejemplo Prof. de Mayo de notas), veo que el planteamiento es similar: el uso de alguna forma de Artin-Rees lema a la conclusión de $\mathfrak aE=E$.

Pregunta: no se sigue trivialmente de la igualdad de $E=\bigcap_{n\ge1}\mathfrak a^nM$ que $\mathfrak aE=\mathfrak a\left(\bigcap_{n\ge1}\mathfrak a^nM\right)=\bigcap_{n\ge2}\mathfrak a^nM=E$? (básicamente el primer término $\mathfrak aM$ de la intersección puede ser ignorada, ya que contiene todos los $\mathfrak a^nM$, de todos modos). Me estoy perdiendo algo trivial aquí?

Answer 1

La igualdad de $\mathfrak a\left(\bigcap_{n\ge1}\mathfrak a^nM\right)=\bigcap_{n\ge2}\mathfrak a^nM$ asume que la multiplicación por ideales y la intersección de los submódulos de viaje. Esto, desafortunadamente, no es el caso.

En general, sólo tenemos $\mathfrak{a} \left(\bigcap_{n\ge1} M_n\right) \subconjunto \left(\bigcap_{n\ge1}\mathfrak{a} M_n\right)$, pero no la igualdad.

El Artin-Rees lema le dice que tiene la igualdad en el caso especial donde $M_n = \mathfrak a^nM$.