¿Por qué el polinomio $S(\vec{x})$ con coeficientes que obedecen a una restricción homogénea?

Question

Recientemente he estado trabajando en un problema para demostrar que un polinomio particular es de hecho homogéneo. Aunque he comprobado que esto es cierto, tengo curiosidad por ver si puede haber un significado más profundo de esto, quizás en la teoría del álgebra. Por lo tanto, voy a plantear el problema aquí:

Dejemos que $\{x_1,x_2,\cdots,x_N\}$ sea un conjunto de variables complejas. Podemos escribir para un polinomio $S$ la siguiente ampliación $$ S(\vec{x})=\sum_{\vec{m}_\in D^N}d_{m_1,m_2,\cdots,m_N}(\vec{p})\prod_{j=1}^Nx_j^{m_j}, $$ donde $\vec{p}=(p_1,p_2,\cdots,p_N)^T$ es complejo y el hipercubo $D^N$ se define como $$ D^N=\{0,1,\cdots,N-1\}^N. $$ Las potencias permitidas de cada variable son, por tanto, las siguientes $0,1,\cdots,N-1$ . Ahora imponemos la condición de que $(x_i \partial_i -x_j \partial_j +i/2\kappa(p_i-p_j))S(\vec{x})$ debe ser divisible por $(x_i-x_j)$ por cada $i,j$ Satisfaciendo a $i\neq j$ . Intentando dividir este término obtenemos la siguiente condición en los coeficientes: para cada $\beta,\rho\in \{1,2,\cdots,N\}$ donde $\beta \neq \rho$ , $$ \sum_{l\in \mathbb{Z}}^*d_{m_1,\cdots,m_{\beta+l},\cdots,m_{\rho-l},\cdots,m_N}(\vec{p})\left(m_\beta-m_\rho +\frac{i}{2\kappa}(p_\beta-p_\rho) \right)=0, $$ donde la estrella $*$ en la suma indica que la suma se realiza sobre todos los $l\in \mathbb{Z}$ tal que $0\leq m_\beta+l \leq N-1$ y $0\leq m_\rho-l \leq N-1$ .

Utilizando esta relación, demuestre que el polinomio $S$ es homogénea de grado $\frac{N(N-1)}{2}$ . Esto equivale a demostrar que si $\sum_{i=1}^Nm_i\neq \frac{N(N-1)}{2}$ entonces $d_{m_1,m_2,\cdots,m_N}(\vec{p})=0$ .

Mi propio enfoque consistió en formular un algoritmo que reescribe el coeficiente considerado como una combinación lineal de coeficientes que estamos $0$ . En consecuencia, sólo demostré que este algoritmo terminaba en un número finito de pasos. Sin embargo, para mí este algoritmo no tiene una interpretación profunda, mientras que sería muy bueno entender la razón de esta homogeneidad. Por lo tanto, me gustaría mucho conocer otros enfoques.

Answer 1

Así es como lo resolvería, si tuviera que usar sus relaciones en $d_m$ Sin embargo, puede resultar equivalente a su algoritmo.

Definir la energía $E(m)$ del multiíndice $m$ por $E(m_1, \ldots, m_n) = \sum m_i^2.$

Afirmación 1: Supongamos que $m$ tiene un par de entradas repetidas $m_a = m_b$ . Entonces $d_m$ puede escribirse como una combinación lineal de otros coeficientes $\sum_k d_{n_k}$ con $E(n_k) > E(m)$ para todos $k$ . Cada $n_k$ tiene la misma suma de entrada que $m$ .

Prueba: Si $m_a=m_b = 0$ o $m_a = m_b = N-1$ , entonces por su relación, $d_m = 0$ y lo anterior se mantiene vacío. En caso contrario, la afirmación se deduce de la observación de que para cualquier $l>0$ , $$2m_a^2 < (m_a+l)^2 + (m_a-l)^2.$$

Reclamación 2: $d_m$ puede escribirse como una combinación lineal de otros coeficientes $\sum_k \alpha_k d_{n_k}$ donde ninguno de los $d_{n_k}$ tienen una entrada repetida, y todos $n_k$ tienen la misma suma de entrada que $m$ .

Prueba: Repite el proceso de la afirmación 1 anterior cada vez que un coeficiente tenga una entrada repetida. Se garantiza que esto aumenta la energía del coeficiente con energía mínima (si es único) o disminuye el número de coeficientes empatados por tener la energía mínima (si hay varios). Como la energía es de valor entero, está acotada por encima y aumenta estrictamente en cada paso, este proceso debe terminar en un número finito de pasos.

Finalmente, la única manera $d_n$ no tiene entradas repetidas es si las entradas de $n$ suma a $\frac{N(N-1)}{2}$ . Por lo tanto, si $\sum m_i\neq \frac{N(N-1)}{2}$ la suma $d_m = \sum_k \alpha_k d_{n_k}$ debe estar vacío y $d_m = 0$ .

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Hay otra forma de obtener el resultado, sin mirar los coeficientes $d_m$ en absoluto.

Afirmación 1: Si $f(x)$ es divisible por $(x_i-x_j)$ para todos $i\neq j$ entonces $$f(x) = g(x)\prod_{i < j}(x_i-x_j) = g(x)\pi(x)$$ para algún polinomio $g(x)$ . Esto se debe a que el anillo de polinomios es un dominio de factorización único y los polinomios lineales son primos. Alternativamente, tratar todas las variables excepto $x_0$ como constantes distintas. Cada $x_j$ con $j > 0$ es una raíz distinta de $f(x_0)$ y así $f(x)$ factores como

$$f(x) = g_0(x_1,\ldots, x_n)\prod_{0 < j}(x_0-x_j).$$ Ahora repite en $g_0(x)$ , sacando todos los factores restantes en función de $x_1$ etc.

El coeficiente de $x_i^{N-1}$ en $\pi(x)$ es $(-1)^i$ Así que para que $f(x)$ para tener poderes no superiores a $N-1$ en $x_i$ , $g(x)$ no puede depender de $x_i$ y por lo tanto debe ser constante. Así, $f(x) = \alpha \pi(x)$ para alguna constante $\alpha$ que es claramente homogénea de grado $\frac{N(N-1)}{2}$ .