Se podría hacer la misma pregunta sobre, por ejemplo, la cohomología: hay todo tipo de cosas que se llaman cohomología y que no son obviamente equivalentes entre sí en ningún sentido razonable. Creo que la respuesta histórica es que la gente ve los parecidos familiares y nombra las cosas basándose en ellos. En general, me parece impar esperar más coherencia de los nombres que esto. La gente nombra las cosas por todo tipo de razones.
De todos modos, esta es mi muy incompleta comprensión de la historia: las cosas, en cierto sentido, comenzaron con Grothendieck, que definió el álgebra $K_0$ en términos de gavillas coherentes en aras de Grothendieck-Riemann-Roch. En una variedad lisa también se pueden utilizar haces vectoriales. Atiyah e Hirzebruch se dieron cuenta de que la definición que implica a los haces vectoriales podía imitarse para los espacios y así definieron el concepto topológico $K_0$ por analogía, y además observó que la periodicidad de Bott implicaba que la topología $K_0$ podría extenderse a una teoría de cohomología extraordinaria; esto fue en aras del teorema del índice.
Con este resultado en mente es tentador volver a intentar extender la algebraica $K_0$ a una teoría de cohomología en algún sentido y esto fue finalmente realizado por Quillen. En una dirección diferente, el teorema de Swan implica que para los espacios compactos de Hausdorff $K_0$ puede definirse en términos de módulos proyectivos finitamente generados sobre el álgebra C* de funciones continuas, y esto sugiere una extensión a las álgebras C* no conmutativas que dio lugar a la teoría K de operadores (aunque no sé quiénes son los autores relevantes en este caso).
Así que históricamente creo que la conexión es clara:
La teoría K es algo que se construye a partir de haces vectoriales, convenientemente interpretados.
Pero hoy en día se llama teoría K a muchas cosas que no se parecen en nada a esto, así que aquí tenemos una perspectiva más moderna. A grandes rasgos,
La teoría K es una versión más elegante de la terminación del grupo de un monoide.
Esto se puede ver ya en la forma en que la teoría K ordinaria se define en términos de inversos adyacentes a la operación de suma directa sobre (clases de isomorfismo de) haces vectoriales. Hay (por lo menos) dos cosas complicadas que hacer aquí y sólo entiendo una de ellas (y no muy bien), así que déjame explicarla.
Dejemos que $C$ sea un grupo monoidal simétrico. El grupoide subyacente $C$ puede convertirse en un espacio llamado la realización geométrica de su nervio $N(C)$ . (Para un groupoide discreto esto es sólo una unión disjunta de espacios clasificatorios de grupos pero en general es interesante ejecutar esta construcción para groupoides enriquecidos en espacios topológicos, digamos). La estructura simétrica monoidal se transporta a una estructura de algún tipo en este espacio. Nos gustaría decir que convierte el espacio en un monoide conmutativo topológico, pero esta afirmación es demasiado fuerte. La afirmación correcta es que convierte el espacio en un "monoide conmutativo homotópico", o más exactamente en un $E_{\infty}$ -monoide. Se pueden unir los inversos a este monoide de una manera convenientemente homotópica y el resultado es un espectro el espectro de la teoría K de $C$ .
Lo principal que hay que saber aquí sobre los espectros es que, por un lado, son versiones homotópicas de grupos abelianos y, por otro, representan teorías de homología y cohomología, ¡como la teoría K! Dos ejemplos:
- El groupoide simétrico monoidal libre sobre un objeto es el groupoide de conjuntos finitos dotados de unión disjunta. El espectro de la teoría K de este tipo es el espectro libre sobre un punto, o el espectro de la esfera . Este es el espectro que representa la teoría de la homología dada al tomar los grupos estables de homotopía de un espacio. (He enunciado este hecho de una manera que hace que parezca que debería seguirse directamente de las propiedades universales, pero no es así; este es el Barratt-Priddy-(Quillen-(Segal?)) teorema).
- Dejemos que $k = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ y consideremos el grupo de dimensiones finitas $k$ -espacios vectoriales dotados de suma directa, con los morfismos topologizados de la forma habitual. El espectro de la teoría K de este tipo es el espectro que representa la teoría K real o compleja (¿conectiva?). Si no topologizáramos los morfismos, obtendríamos una teoría K algebraica.
