Lo que usted describe es un sorprendentemente profundo problema. Permítanme comenzar con un resumen de las variables que intervienen aquí.
Ha $I$, la tasa de insectos de entrar a la sala (de entrada); $O$, la tasa de insectos salida (output), y $L$, la tasa de insectos de aterrizaje. No presente la posibilidad de una $T$, la tasa de aterrizó insectos despegando de nuevo, pero bien podemos hablar de ello.
La primera lección que se aprende en los modelos matemáticos es que usted necesita para simplificar. Es imposible tener en cuenta todas las variables en un sistema complejo a la vez (sobre todo si quieres hacer anythin útil!), así que lo que quiero hacer es de la cuenta para que unos pocos de ellos como sea posible, manteniendo una buena cantidad de el comportamiento real del sistema. Vamos a hablar de algunas simplificaciones posibles.
Debemos pensar en nuestra $I, O$, etc como las funciones del total de la población: cuando hay $P$ bugs en la casa, hay $I(P)$ errores de entrar. (Por simplicidad, en realidad estamos asumiendo que este es continuamente variable - que, dicen, $P$ puede ser un número real en lugar de un número entero. Mientras esto no tiene sentido físico, nos ayuda a modelar la situación.) Si asumimos que todos los agujeros en la casa sobre el suelo (por lo que sólo errores en el aire puede entrar ni salir de la casa), obtenemos $\text{BugsInAir}(P) = \int_0^x I(x) - O(x) + T(x) - L(x)dx + \text{BugsInAir}(0)$. Su suposición de que el número de errores en el aire en un momento dado es constante significa que $I-O+T-L = 0$. Esto se llama un estado estacionario problema.
Estás asumiendo también que, finalmente, todo se estabiliza: el número de errores en la casa termina siendo constante. Queremos averiguar lo que este número es. En este punto resulta útil pensar en esto como un balance de masa de problema; sabemos que hay cierta acumulación de plazo $A$ tal que $I(P) - O(P) = A(P)$. Nuestra idea es que hay algunos óptimo número de errores de $P$, de modo que $I(P) - O(P) = 0$; a continuación, el número total de errores en la casa deja de cambiar. Para escribir esto como una integral necesitamos darnos cuenta de que $P$ es también una función del tiempo. La tasa de cambio de $P$ con respecto al tiempo debe ser $I(P(t)) - O(P(t))$. (Tenga en cuenta que esto no depende de la $T$ o $L$ a todos los que nos hemos quitado de esta parte del problema). Si conocemos $I$ $O$ - como funciones de $P$ - a continuación, esta es una ecuación diferencial, $$\frac{dP}{dt} = I(P(t)) - O(P(t)),$$ which we can (in principle!) solve for an explicit formula for $P(t)$. As an example, let's say that $I$ is constant (say, $I(P) = 10$), $S(P) = P$, and we start with 20 bugs in the house. Then this equation becomes $$\frac{dP}{dt} = 10 - P(t),$$ which one can solve explicitly as $P(t) = 10e^{-t} + 10$, for some constant $C$ - that is, the number of bugs decreases forever towards $10$ total de errores.
Ahora, suponiendo que conocemos $I(P)$$O(P)$, hemos resuelto explícitamente para $P(t)$. También sabemos que $\text{BugsInAir}$ es constante. Esto significa que conocemos $\text{BugsOnGround}(t) = P(t) - \text{BugsInAir}$ (y por lo tanto sabemos que la proporción de la cantidad en el aire para el número en el suelo). Debido a $$\frac{d\text{BugsOnGround}}{dt} = L(P(t)) - T(P(t)),$$ si sabemos que una de estas, podemos resolver para el otro simplemente tomando un derivado.
Por supuesto, no hemos mencionado cómo uno encuentra $I$$O$ -, pero esto es parte de la modelo! Como usted dice, hay un montón de variables que intervienen en tiempo del año, número de agujeros, el tipo de error, y así sucesivamente. A pesar de nuestros modelos, a lo largo del tiempo, incorporar más datos, como que y se vuelven más complejas, el primer paso es siempre tomar medidas físicas - a partir de la cual podemos predecir puede ser capaz de predecir un cierto $I$ o $O$, que son a menudo más fáciles de $P$ sí.
Que algunas de las matemáticas involucradas en respuesta a una forma simplificada de su pregunta, sino que también se les preguntó si la gente piensa acerca de estas cosas. La respuesta es absolutamente sí. Muchas de estas ideas se utilizan con frecuencia en la ingeniería química; lo que hemos descrito anteriormente (la búsqueda de $P(t)$$I$$O$) es esencialmente el tanque de drenaje problema, la entrada y la salida de los reactores químicos, la dinámica de la población (como hicimos aquí!), ... así que sí, creo que es justo decir que sus ideas son importantes aquí y sensical.
