Cómo demostrar que $x/|x|$ es continua?

Question

Esto es de p.156 de Topología, Munkres : La esfera de la unidad $S^{n-1}$ en $\mathbb{R}^n$ es un camino conectado, ya que es la imagen continua de la función suryectiva $g: \mathbb{R}^n -0\to S^{n-1}$ por $g(x)=x/|x|$ . (Nótese que el espacio euclidiano puntuado $\mathbb{R}^n -0$ está conectado a la ruta para $n>1$ .)

Pero, ¿cómo puedo demostrar que $g$ es continua? Tengo una aproximación pero esto no parece genial: Como el dominio y el codominio son espacios métricos, podemos usar el método épsilon-delta. Así que $$\begin{align*} \left|\frac x {|x|} - \frac y {|y|}\right| &= \frac1{|x||y|}\Big|\big(x|y|-|x|y\big)\Big|\\ &\le \frac1{|x||y|}\Big(\Big|\big(x|y|-|y|y\big)\Big|+\Big|\big(|y|y-|x|y\big)\Big|\Big)\\ &\le \frac1{|x||y|}\Big(|y||x-y|+||y|-|x|||y|\Big)\\ &\le \dfrac{|x-y|}{|x|}+\dfrac{|y-x|}{|x|}\\ &<2\dfrac{\delta}{|x|}\;. \end{align*}$$

Así que al principio eligiendo que delta sea menor que $2\dfrac{\delta}{|x|}<\epsilon$ Esta función es continua.

1. ¿Está bien?
2. ¿Hay algún método genial?

Answer 1

El mapa $g$ es el mapa de proyección cuando se toma la esfera unitaria como el espacio cociente de $\mathbb{R}^n-0$ bajo la relación de equivalencia que identifica el punto en la misma semirrecta desde el origen.

De hecho, puede demostrar que $g$ es continua directamente a partir de la definición mediante conjuntos abiertos: Una base para la topología inducida de la esfera es la intersección de bolas del espacio con la esfera. Las imágenes inversas bajo $g$ de estos conjuntos son conos abiertos en el espacio.