¿Los grupos son pares ordenados o conjuntos?

Question

Algunos libros dicen cosas como "si $\forall x \in G$ , $x^2=e$ entonces $G$ es abeliano". Pero la notación de un grupo es $\langle G, \circ \rangle$ y eso parece un par ordenado. Entonces, ¿no deberían ser los elementos del grupo $\{G\}$ y $\{\circ,G\}$ por definición de par ordenado? ¿O estoy entendiendo mal la notación?

También me surgió esta duda con la notación de conjuntos parcialmente ordenados.

Answer 1

Sí, un grupo es un par ordenado: el primer elemento del par es un configure (la función subyacente del grupo), y la segunda es una función binaria en ese conjunto (que, en teoría de conjuntos, también es un conjunto).

Diciendo algo como " $G$ es abeliano" es un abuso de notación Técnicamente es incorrecto, pero sólo tiene una interpretación razonable (esto sólo es cierto, por cierto, si no estamos considerando dos estructuras de grupo diferentes en el mismo conjunto, lo que a veces hacemos). Se utiliza porque es un poco más fácil de escribir que " $(G, \circ)$ es abeliano".

Por cierto, dado que " $e$ "no forma parte de la tupla $(G, \circ)$ eso también es un abuso de notación - se debería escribir $e_G$ (para distinguirla de la identidad de algún otro grupo) o similar. Pero, de nuevo, podemos salirnos con la nuestra en contextos en los que no lleve a confusión. Además, cabe señalar que muchos textos tratan a los grupos como ordenados triples de la forma $(G, \circ, e)$ .

Answer 2

A menudo, en matemáticas te encuentras con estructuras que son conjuntos y alguna estructura en ese conjunto. Por ejemplo, con los grupos, se trata de un conjunto $G$ y alguna operación  $\cdot: G \times G \to G$ en este set. En topología, se tiene un conjunto $X$ y una topología $\tau$ en este conjunto. En teoría de medidas tenemos un conjunto $X$ , a $\sigma$ -en $X$ denotado $\Gamma$ y una medida sobre $\Gamma$ denotado $\mu$ .

En todos estos casos se puede describir la cosa adecuadamente proporcionando el conjunto y la estructura juntos: un conjunto es $(G,\cdot)$ un espacio topológico es $(X, \tau)$ y un espacio de medidas es $(X, \Gamma, \mu)$ . Creo que a esto se refiere su anotación.

Answer 3

Esto es técnicamente un abuso del lenguaje. Confluir una tupla $(A,\ldots)$ definir un conjunto con estructura con el conjunto $A$ y no recuerdo haber oído a nadie quejarse de ello. Esto se debe a que la construcción de tuplas ordenadas es bastante artificial y no es la única forma de asociar un conjunto con las estructuras que le ponemos.

Para el ejemplo de los grupos, podríamos definir un grupo como un objeto de la categoría $\mathbf{Grp}$ de todos los grupos. Ahora sí que se trata de un conjunto. La estructura algebraica se oculta entonces en los morfismos de la categoría.

Answer 4

La notación $\langle G,\circ \rangle$ para un grupo no tiene nada que ver con un par ordenado. Los elementos de un grupo son los elementos del conjunto $G$ .