¿Qué es la "correcta" lectura de $\bot$?

Question

Tengo algunas dudas acerca de la "natural" de la interpretación de $\bot$ en la Deducción Natural y sequent cálculo.

En Prawitz (1965) $\bot$ (falsedad o absurdo) es llamado un sentential constante [página 14]

Chiswell y Hodges (2007) lista de $\bot$ (absurdo) entre la verdad de la función de los símbolos [página 32], y esto no es muy claro para mí; luego, en la definición formal de la fórmula de un idioma [página 33] dicen :

$\bot$ es una fórmula.

Negri & von Platón (2001) [página 2] lista de $\bot$ (falsedad) entre el primer fórmulas, especificando que :

A menudo, $\bot$ se encuentra entre las fórmulas atómicas, pero esto no va a funcionar en la prueba de la teoría. Es mejor visto como un cero-lugar conectivo.

Creo que el último comentario es de contra D. van Dalen, la Lógica y la Estructura (5ª ed, 2013) [página 7] donde: $\bot$ se define como un conectivo y :

La proposición de símbolos y $\bot$ stand para la indecomposable proposiciones, que llamamos átomos, o proposiciones atómicas.

Me pregunto si todas las definiciones anteriores son equivalentes.

Un (proposicional) conectivo es un "operador" que se asigna a una o más variables proposicionales en una fórmula; por ejemplo,

$\land$ : <$P,Q$> $\quad \rightarrow \quad P \land Q$.

Esto significa que el cero-lugar conectivo $\bot$ es una asignación

$\bot$ : $\emptyset \quad \rightarrow \quad \bot$.

Si es así, podemos decir que, siendo al mismo tiempo, la asignación y la salida de la asignación, es un conectivo y una fórmula ?

Answer 1

Usted es la mezcla de diferentes aspectos de la lógica, también en algunas partes de la pregunta más filosófica de las matemáticas.

Primer titular: $\bot$ $\top$ sólida fórmulas.

(A propósito menciono aquí porque en este aspecto son los mismos)

Diferentes autores tienen diferentes formulaciones de este hecho:

• $\bot$ $\top$ son constantes proposicionales
• $\bot$ $\top$ son un cero en lugar de las conectivas
• $\bot$ $\top$ son atómicas fórmula

Todas apuntan a lo mismo $\bot$ $\top$ puede ser parte de una fórmula, que puede ser utilizado como una variable proposicional en todas las reglas de la lógica. así que si $ ( P \to (Q \to R )) \to ( (P \to Q )\to (P \to R )) $ es un teorema, entonces también lo son $ ( \top \to (Q \to \bot )) \to ( (\top \to Q )\to (\top \to \bot )) $ y $ ( \bot \to (\bot \to R )) \to ( (\bot \to \bot )\to (\bot \to R )) $ y muchos más, no son muy útiles, pero que está al lado del punto)

Esto es todo acerca de ser sólida y cómo se pueden utilizar en las fórmulas , no tiene nada sobre lo $\bot$ medios.

Algunas lógicas simplemente no definen $\bot$ o $\top$ como una sólida fórmula, por lo que en esas lógicas que simplemente no existen.

¿Qué $\bot$ significa?

Esta es una pregunta filosófica.

Si usted ve la lógica como manipulación de símbolos (la filosofía de las matemáticas conocida como formalismo) , símbolo no significa nada, por lo que el cuestionamiento de lo que es un símbolo en particular significa que no tiene sentido.

El de arriba es supongo que no es muy útil, tan diferente lógicos vienen con ideas diferentes.

• $\bot$ significa absurdo: $ P \to \bot$ significa que P conduce al absurdo ( y no queremos eso)

• $\bot$ significa refutability: $ P \to \bot$ significa que P es rebatible ( y por lo tanto P es falso)

• $\bot$ significa que no es el potencial $ P \to \bot$ significa que P no es demonstable (por lo que no demostrablemente cierto)

La de arriba es una reescritura de "Fundamentos de la lógica Matemática" Curry (1963), en el capítulo 6 de "negación" , el capítulo profundiza mucho más en ella, hay una edición de dover, altamente recomendable, pero la negación es mucho más complejo de lo que parece, en otro artículo vi, creo que 7 diferentes negaciones apareció, y me hacen dudar de que el artículo mencionado todos.

Wittgenstein llegó con "significado de la siguiente manera por el uso", así que tal vez la única manera que usted puede encontrar el significado es mirar cómo se utiliza.

• Si $ \bot \to P $ es un teorema, a continuación, $\bot$ significa que absurdo, es bastante absurdo que cada fórmula es verdadera.

• Si $ ((P \lor R) \to ((P \to\bot) \to R) $ es un teorema, a continuación, $\bot$ significa refutability, P es refutada (y por lo tanto R es verdadera)

• Si $ (P \lor (P \to\bot) ) $ tiene la lógica clásica.

así que todo depende, pero se puede esperar nada más con una cuestión filosófica.

Answer 2

No es una simple "universal" respuesta a esta pregunta que no depende ni de la prueba la teoría ni en la semántica.

Pensar en el conjunto de las fórmulas de la lógica como un término álgebra libremente generado más de un sintáctica de la firma que describe su colección de conectivas (o pensar en el conjunto de fórmulas, para todo lo que importa, como una gramática independiente del contexto). Suponga que hay denumerably muchas variables (o proposicional parámetros) en el subyacente del lenguaje. Un resumen consecuencia de la relación de entonces se define sobre tales proposicional del lenguaje, como de costumbre, a fin de recuperar las propiedades de un cierre de operador. Una lógica del sistema está dado por una lengua $L$ y una sustitución de las invariantes consecuencia de la relación de $\vdash\;\subseteq 2^L\times L$. Por sustitución de invariantes " nos referimos a que $\Gamma\vdash A$ implica $\sigma[\Gamma]\vdash\sigma[A]$ donde $\sigma$ denota una sustitución de la cartografía en $L$ (es decir, un homomórfica de asignación de las variables en las fórmulas).

Ahora, en la anterior construcción $\bot$ (o $\top$) puede ser un proposicional parámetro o un nullary conectivo. En el primer escenario, la sustitución se aplicará a dichas símbolo; en el segundo, no. Sin embargo, en la práctica, $\bot\vdash p$ se asume generalmente para contener para cada variable $p$, pero $q\vdash p$ en general falla para cada variable $q$ distinta de la de $p$. Consecuencia por lo tanto no sería conservada por sustitución, si uno insistió en que $\bot$ es un proposicional parámetro. El modo más simple es asumir que se trata de un nullary conectivo.

Answer 3

Aquí está la gran brecha sobre el uso y el significado de un absurdo símbolo de deducción natural de los sistemas: cual de las siguientes maneras de tratar el símbolo debemos tomar?

(i) $\bot$ se le puede asignar un valor de verdad y pueden aparecer incrustado como un subformula más complejas fórmulas, o

(ii) $\bot$ simplemente sirve para "cerrar" una línea de razonamiento cuando contiene contradictorias wffs, por lo que se utiliza es como decir "Stop! Problemas!! Aaaarghhhh!!!!!"

Enfoque (i) se explora un poco en @Willemien la respuesta. Y, con respecto a los buenos detalles de impresión dentro de enfoque (i), seguramente, no importa mucho si usted oficialmente llamada $\bot$ cero lugar conectivo, o una proposición atómica fórmula (o más bien, que el camino que tomes dependerá de la más fina impresión de lo que usted dice en otro lugar acerca de las conectivas y fórmulas atómicas).

De los que han argumentado que debemos tratar mejor a un absurdo marcador, usando el enfoque de (ii), creo que la más persuasiva es Neil Tennant: ver, por ejemplo, su papel http://people.cohums.ohio-state.edu/tennant9/nac.pdf para obtener más detalles.

Answer 4

Con respecto a el comentario de Trismegisto sobre $\lnot$ I - y E-normas, hemos ...

Dag Prawitz, Deducción Natural (1965) [página 20] define el sistema minimal de M con el (ahora) habitual de cinco parejas de I - E E-reglas para $\lor, \land, \rightarrow, \forall$, e $\exists$.

El sistema de intuitionistic la lógica se define como M $\cup \{ \bot_I \}$ donde $\bot_I$ es :

(ex falso quodlibet) $$\frac {\bot} A$$

Esta regla es $\bot$-E; no tenemos un $\bot$-I [podemos esperar de este, con el fin de tener la solidez].

El sistema de la lógica clásica se define como M $\cup \{ \bot_C \}$ donde $\bot_C$ es :

(RAA) $$\frac {\frac {[\lnot A]} \bot } A$$

El $\lnot$ símbolo es una abreviatura [página 21], es decir,$\lnot A$$(A \rightarrow \bot)$.

Con esta abreviatura, tenemos que las dos Gentzen las reglas de la $\lnot$ son derivados de las reglas.

$\lnot$I : $$\frac {\frac {[A]} \bot} {\lnot A}$$ se obtiene a partir de a $\rightarrow$-I y

$\lnot$-E : $$\frac {A \quad \lnot A} \bot$$ from $\rightarrow$-E.

En lugar de agregar $\bot_C$, la lógica clásica puede ser obtenida añadiendo :

(DN) $$\frac {\lnot \lnot A } A$$

de esta manera, $\bot_I$ se convierte en redundante [página 21].

Prawitz [página 35] considerar también otra posibilidad: con el fin de obtener la lógica clásica, podemos omitir $\bot$ e introducir $\lnot$ como primitiva, con los dos reglas :

$\lnot$I : $$\frac { \frac {[A]} B \quad \frac {[A]} {\lnot B} } {\lnot A}$$

y

$\lnot$-E : $$\frac {\lnot \lnot A } A$$.

Pero él expresa insatisfacción para esto de las parejas de las normas, ya que no muestran la "simétrico" forma "estándar" - I y E-reglas [en $\lnot$-I conjuntivo ya está presente en los locales].

Neil Tennant, lógica Natural (1978) proceder como Prawitz, con el intuitionistic lógica obtienen añadiendo a la "básica" del sistema de la regla :

(Absurdo) $$\frac {\bot } A$$

A continuación, se consideran cuatro reglas :

(EM) $$ \frac { } {A \lor \lnot A}$$

(Dilema) $$\frac { \frac { [A] } B \frac { [\lnot A] } B } B$$

(RAA) $$\frac {\frac {[\lnot A]} \bot } A$$

(DN) $$\frac {\lnot \lnot A } A$$

Tennant se demuestra que cuatro son inter-derivable.

La lógica clásica se obtiene a partir de la "base" del sistema con la adición de una de las cuatro reglas anteriores (y omitiendo el Absurdo).

Podemos notar que con el Dilema y la RAA tenemos un par de "simétrico" - I y E-reglas para $\lnot$.

Ian Chiswell & Wilfrid Hodges, la Lógica Matemática (2007), el uso (para la lógica clásica) las tres reglas :

($\lnot$-E) $$\frac { A \quad \lnot A } \bot$$

($\lnot$-I) $$\frac { \frac { [A] } \bot } { \lnot A }$$

(RAA) $$\frac { \frac { [\lnot A] } \bot } A$$.

También en este caso tenemos un par de "simétrico" - I y E-reglas para $\lnot$.