¿Cómo puede ser la velocidad angular o el momento angular un vector?

Question

Las rotaciones en 3 dimensiones no son conmutativas; sin embargo, sí lo son en el plano. En la mecánica clásica, ¿podemos decir que el momento angular es un vector porque las partículas sólo giran a lo largo de un único eje? ¿O podemos argumentar que se puede asignar la velocidad angular a un objeto porque se puede aproximar localmente a lo largo de un único eje de rotación y, por tanto, es "localmente conmutativo" y, por lo tanto, apropiado llamarlo vector? Si este es el caso, ¿qué sucede si tenemos una partícula que gira de una manera que no es diferenciable? ¿Hay alguna razón física por la que las partículas no puedan girar de esa manera?

Estoy muy confundido con esto y no he tomado física desde la escuela secundaria, cualquier ayuda sería apreciada :)

Answer 1

Hay un par de cosas en juego aquí, que casualmente (¿?) reflejan la diferencia entre los matemáticos que dicen "vector" para significar cualquier cosa que pueda ser sumada conmutativamente y multiplicada por un escalar, y los físicos que dicen "vector" para significar una cantidad de 3 (o 4) dimensiones que se transforma adecuadamente bajo el cambio de coordenadas.

1. Mientras que las rotaciones arbitrarias en 3 dimensiones no conmutan, infinitesimal las rotaciones lo hacen. (De hecho, cualquier transformación "infinitesimal" se conmuta, como se puede ver multiplicando $I + \epsilon A$ y $I + \epsilon B$ e ignorando los términos de segundo orden en $\epsilon$ .) Dado que la velocidad angular puede considerarse como "una rotación infinitesimal por un tiempo infinitesimal", acaba siendo un vector (en el sentido matemático) aunque la rotación en sí no lo sea. Del mismo modo, el momento angular es la derivada de la energía cinética con respecto a la velocidad angular, por lo que es un gradiente, que es un vector (dual) (a la velocidad angular).

2. Existe una interesante correspondencia entre estas matrices de rotación infinitesimal y los vectores (en el sentido físico) que sólo funciona en 3 dimensiones. Si se piensa en una rotación infinitesimal como $I + \epsilon A$ , se puede demostrar que $A$ debe ser antisimétrico . Esto significa que sus entradas diagonales son 0, dejando sólo 3 grados de libertad en las entradas no diagonales. Una matriz de este tipo puede asociarse a un vector mediante el producto cruzado:

$$\begin{bmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{bmatrix} \mathbf{r} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}$$

Así que la velocidad angular no es "naturalmente" un vector en el espacio físico, sino que vive en un espacio vectorial tridimensional diferente. Por eso, una vez que se interpreta como un vector físico, resulta que se transforma de forma ligeramente diferente como ha señalado J.M. en los comentarios.