Si $2^{2017} + 2^{2014} + 2^n$ es un cuadrado perfecto, encontrar $n$.
Mi primera foto sería asumir el cuadrado perfecto es $2^{2018}$, pero ¿cómo lo voy a probar eso? Incluso si lo es, ¿qué es $n$? Toda la ayuda es apreciada.
Respuestas
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$(2^x+2^y)^2=2^{2x}+2^{x+y+1}+2^{2y}$ así que podemos aprovechar $y=1007$ $x=1009$ a la conclusión de $2^{2018}+2^{2017}+2^{2014}$ es un cuadrado.
cómo obtener todos los $n$:
$9(2^{2014})=2^{2017}+2^{2014}=k^2-2^n$.
Aviso de que debemos tener $k^2\equiv 1 \bmod 3$ lo que implica $2^n\equiv 1\bmod 3$.
Por lo $n=2m$.
A partir de aquí tenemos a $2^{2014}\times 9= (k+2^m)(k-2^m)=z(z+2^{m+1})$
ahora hay dos casos, el caso de que uno es al $z=9(2^j)$ y el caso dos es al $z=2^j$
el primer caso es imposible porque el número de $9$ en binario es $1001$ y la adición de una potencia de dos, claramente, no hacer de ella un poder de $2$. El otro caso es claramente resuelto sólo por tomar $z=2^{1007}$ y teniendo en $m=1009$, obteniendo así,$z(z+2^{m+1})=2̣^{1007}(2^{1007}+2^{1010})=9(2^{2014})$.
Así que necesitamos a $n=2(1009)=2018$
Faiz
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fleablood
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Si desea una respuesta, a continuación, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ debe sugerir una respuesta obvia mediante el establecimiento $a^2 = 2^{2014}; 2ab=2^{2017}; 2^n = c^2$.
yo.e $(2^{1007} + 2^{\frac n2})^2 = 2^{2014} + 2*2^{1007}*2^{\frac n2} + 2^n= 2^{2014} + 2^{1 + 1007 + \frac n2} + 2^n$. Sólo tenemos que resolver para $1 + 1007 + \frac n2 = 2017$. Por lo $n = 2018$.
Pero es la única solución?
Ten paciencia conmigo.
Deje $m$ ser cualquier número entero positivo. Deje $m = \sum_{i=0}^k a_i2^i; a_i = \{0|1\}$, pero su único binario de expansión.
Reclamo: Si $m$ tiene 3 o más no-cero términos en su binario de expansión, a continuación, $m^2$ tiene más de 3 distinto de cero términos en su binario de expansión.
Prueba: Vamos A $m = 2^a + 2^b + 2^c + \sum_{i= c+1}^k a_i 2^i; a < b < c$. ($a$ puede ser igual a $0$. y $a_i; i > c$ pueden ser $0$.)
A continuación, $m = (1 + 2^{b'} + 2^{c'} + \sum_{i=c+1}^k a_i2^{i - a})2^a; c'= c-a;b'=b-a$
Por lo $m^2 = [(1 + 2^{b'} + 2^{c'} + 2*2^{b'}2^{c'}+ 2^{2b'} + 2^{c'}) + 2(1 + 2^{b'} + 2^{c'})\sum_{i=c+1}^k a_i2^{i - a} + (\sum_{i=c+1}^k a_i2^{i - a})^2]2^{2a}$.
$= 2^a + 2^b + 2^c + 2^{1+b+c} +2^{2b} + 2^{2c} +..... $.
Nota todos los períodos posteriores, si existen, son más grandes que los $2^{2c}$ $m^2$ tiene al menos cuatro no-cero términos en su binario de expansión.
Bueno...
Por lo $2^{2017} + 2^{2014} + 2^n = m^2$ tiene más de tres no-cero en términos de su expansión. Por lo $m$ tiene más de $2$ su expansión.
Por lo $m = 2^k$ o $m = 2^k + 2^j$.
$2^{2017} + 2^{2014} + 2^n = 2^{2k}$ es imposible.
Y $2^{2017} + 2^{2014} + 2^n = (2^k + 2^j)^2 = 2^{2k} + 2*2^j*2^k + 2^{2k}$ sólo ha $n = 2018$ para la solución.
Por lo $n = 2018$ es la única solución.
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Sencillo, rápido, papel y lápiz enfoque para encontrar una respuesta (no todas las respuestas) es así:
$$2^{2017} + 2^{2014} + 2^n$$ Factor: $$2^{2014}(2^{3} + 1 + 2^{n-2014})$$
Si se toma un cuadrado perfecto de cualquier número, el resultado es un cuadrado perfecto si y sólo si el número original era un cuadrado perfecto. Por lo tanto, podemos simplemente ignorar el factor de $2^{2014}$ como es un cuadrado perfecto, y hay que buscar para encontrar una $n$ de manera tal que el siguiente es un cuadrado perfecto: $$2^{3} + 1 + 2^{n-2014}$$ Simplified: $$9+2^{n-2014}$$
Así que la pregunta es, ¿qué potencia de dos agregados a $9$ resultados en un cuadrado perfecto?
La menor respuesta a esta modificación de la pregunta* es fácil de encontrar por ensayo y error, o por recordar la $3,4,5$ terna pitagórica, o cualquier número de otras maneras:
$$9 + 16 = 25 \Rightarrow 9+2^4=25$$
Por lo tanto, se puede obtener un valor posible para $n$ el uso de: $$n-2014=4$$
Así pues, una posible valor de$n$$4+2014=2018$.
*Esto nos permite encontrar el menor valor posible de $n$ que es mayor que $2014$. Puede haber una menor respuesta.
