Si $G/N$ $H/N$ son isomorfos, implica $G$ $H$ son isomorfos?

Question

Si $N$ es un subgrupo de ambos $G$$H$, e $G/N \cong H/N$, entonces es $G \cong H$? (O, más en general, si $N$ $M$ son subgrupos de $G$ $H$ respectivamente, y $N \cong M$$G/N \cong H/M$, entonces es $G \cong H$?)

Sospecho que la respuesta es no, pero si la respuesta es sí, existe un isomorfismo natural entre el $G$ $H$ dado un isomorfismo $\phi:G/N \rightarrow H/N$?

También, simplemente asegurarse de que, es$(G \times H)/G \cong H$$(G \times H)/H \cong G$?

Answer 1

Su primera/segunda pregunta puede reformularse como preguntar si el isomorfismo de la clase de la normal subgrupo $N$ de la $G$, y que el cociente de grupo $G/N$, junto determinar el isomorfismo de la clase de $G$.

La respuesta corta es no, como se muestra por @Jim. Una mejor respuesta es que en realidad se está preguntando sobre el intrincado problema de grupo de extensiones.

En cuanto a tu tercera pregunta, te recomiendo un poco de atención. Si usted escribe $$ (\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}) / \mathbf{Z}, $$ el $\mathbf{Z}$ en el denominador se refiere a cuál de las muchas copias de $\mathbf{Z}$$\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$? Si elige por ejemplo $$ \{ (2, 0) : x \in \mathbf{Z} \} \cong \mathbf{Z} $$ como su copia de $\mathbf{Z}$ en el denominador, entonces el cociente es definitivamente no es isomorfo a $\mathbf{Z}$, pero a $\mathbf{Z}/2 \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$.

Así que probablemente debería decir algo como $$ 1 \H \G \times H \G \a 1 $$ es una secuencia exacta, donde $H \to G \times H$ es el mapa $h \mapsto (1, h)$$G \times H \to G$$(g, h) \mapsto g$.

Answer 2

$N = \mathbb Z/2$ es isomorfo a un subgrupo de $G = \mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$ e de $H = \mathbb Z/4$. Estos grupos no son isomorfos, sino $G/N \simeq \mathbb Z/2 \simeq H/N$.

Answer 3

Vamos $G=S_3$, $H=\mathbb Z_6$, $N_1=\langle(1~2~3)\rangle$ y $N_2=\langle[2]\rangle$. Tenemos $$N_1\leq G,~~~N_2\leq\ H,~~~N_1\cong N_2$$ and $G/N_1\cong H/N_2$ but $G\ncong H$.