Una nueva(?) orden parcial en el conjunto de mapas continua

Question

Deje $X,Y$ ser espacios topológicos. Definir un orden parcial en $\hom(Y,X)$ como sigue: $f \leq g$ si $f^{-1}(U) \subseteq g^{-1}(U)$ para abrir todos los subconjuntos de a $U \subseteq X$. Equivalentemente, $f(y)$ es una especialización de $g(y)$ todos los $y \in Y$. En particular, esto dota a $\mathsf{Top}$ con la estructura de una $2$-categoría. Tengo varias preguntas:

1) Es este orden parcial bien conocido y estudiado en algún lugar en la literatura?

2) ¿Cuáles son algunas de las propiedades de esta orden parcial? Lo que sobre el caso que $X,Y$ son sobrio?

3) ¿cuáles son interesante y no trivial ejemplos de mapas de $f,g$$f \leq g$, pero $f \neq g$? Estoy interesada en el esquema de morfismos.

EDIT: me gustaría agregar:

4) Si $X,Y$ son en realidad rodeada de espacios, entonces podemos definir el $f \leq g$ si $f^{-1}(U) \subseteq g^{-1}(U)$ todos los $U \subseteq X$ e $f^\# = \mathrm{res} \circ g^\#$. Lo que acerca de esto $2$categoría estructura de la categoría, rodeado de espacios, es este ya conocido?

Answer 1

La respuesta corta es sí: para los locales (de ahí sobrio espacios), de todos modos. El 2-categoría (o más bien, $\textbf{Poset}$enriquecido categoría) $\mathfrak{Loc}$ ha hom-establece, precisamente, con este orden. Algunas de sus propiedades se menciona en [Johnstone, Bocetos de un elefante, Capítulo C1], pero en cierta medida de la 2-dimensional propiedades de $\mathfrak{Loc}$ son subsumidos por la 2-dimensional propiedades de la 2 categoría $\mathfrak{BTop}_{/ \textbf{Set}}$ de Grothendieck toposes y geométricas morfismos. En efecto:

Teorema. El pseudofunctor $\textbf{Sh}(-) : \mathfrak{Loc} \to \mathfrak{BTop}_{/ \textbf{Set}}$ 2-completa la incorporación, en el sentido de que la inducida por functors en hom-categorías $\mathfrak{Loc}(X, Y) \to \mathfrak{BTop}_{/ \textbf{Set}}(\textbf{Sh}(X), \textbf{Sh}(Y))$ (la mitad) una equivalencia de categorías.

Aquí es no trivial de la propiedad de los hom-poset $\mathfrak{Loc}(X, Y)$:

La proposición. $\mathfrak{Loc}(X, Y)$ tiene une dirigida subconjuntos, es decir, $\mathfrak{Loc}(X, Y)$ es dcpo y, además, $\mathfrak{Loc}(X, Y)$ es accesible categoría.

El último se generaliza a $\mathfrak{BTop}_{/ \textbf{Set}}$: para cualquiera de los dos Grothendieck toposes $\mathcal{E}$$\mathcal{F}$, la categoría geométrico de morfismos $\mathcal{E} \to \mathcal{F}$ formas accesible categoría.