Propiedad conmutativa de la multiplicación de la matriz (o falta de ella)

Question

Asumiendo $A$ $B$ son invertible matrices y son de dimensiones adecuadas para ser multiplicado (por ejemplo, $2\times2$), es el siguiente expresión correcta para todos los ejemplos de matrices de $A$$B$?

$$(A^{-1}B)(AB^{-1}) = A^{-1}BAB^{-1} = A^{-1}AB^{-1}B = I^2 = I$$

Mi entendimiento es que para matrices $A$ y $B$, $AB$ no es necesariamente igual a $BA$ como la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Estoy tratando de simplificar la siguiente expresión:

$$(AB)^{-1}(AC^{-1})(D^{-1}C^{-1})^{-1}D^{-1}$$

Nada acerca de las matrices $A$, $B$, $C$, o $D$ más allá de que son invertible y de correctas dimensiones tales que cualquier multiplicación de matrices es posible. Mi proceso es el siguiente:

$$\begin{align}(AB)^{-1}(AC^{-1})(D^{-1}C^{-1})^{-1}D^{-1} &= (A^{-1}B^{-1})(AC^{-1})(DC)D^{-1}\\ &= A^{-1}B^{-1}AC^{-1}DCD^{-1}\\ &= B^{-1}A^{-1}AC^{-1}CDD^{-1}\\ &= B^{-1}I^3\\ &= B^{-1}\end{align}$$

Te darás cuenta de el error que he hecho aquí: $(AB)^{-1} = (B^{-1}A^{-1})$, no $(A^{-1}B^{-1})$, pero en el final no cambia la respuesta. La respuesta en el libro de texto es, de hecho,$B^{-1}$. De acuerdo a lo anterior:

$$(B^{-1}A^{-1}) = (A^{-1}B^{-1})$$

Pero las matrices no conmutativa? ¿Por qué el álgebra sugieren que son?

Answer 1

En general, usted no tiene ninguna propiedad conmutativa con matrices, $AB \neq BA$. Y usted no será capaz de simplificar $(A^{-1}B)(AB^{-1})$. Es en general la forma final de este cálculo. Por ejemplo, $$A=\left(\begin{matrix} 1&2 \\ 3&4 \end{de la matriz} \right) \qquad B=\left(\begin{matrix} 5&6 \\ 7&8 \end{de la matriz} \right)$$ $$AB=\left(\begin{matrix} 19&22 \\ 43&50 \end{de la matriz} \right) \qquad BA=\left(\begin{matrix} 23&34 \\ 31&46 \end{de la matriz} \right)$$ $$AB \neq BA$$ $$(A^{-1}B)(AB^{-1}) = \left(\begin{matrix} -17&10 \\ 22&-13 \end{de la matriz} \right)$$

Para ayudarle a recordar esta no la propiedad conmutativa recordar que las matrices son una representación de funciones lineales y que la matriz producto corresponde a la composición funcional que es intuitivamente no conmutativa.

En tu ejemplo : $(AB)^{-1}(AC^{-1})(D^{−1}C^{−1})^{−1}D^{−1}=B^{-1}A^{-1}AC^{-1}CDD^{-1}=B^{-1}$

Obteniendo una buena respuesta por parte de un mal cálculo no valida ninguna hipótesis. Su "de Acuerdo a lo anterior" es lógicamente incorrecto. El álgebra sugiere nada aquí.

Answer 2

Que la expresión no es siempre correcta. Por ejemplo, vamos a

$$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

A continuación, obtener

$$(A^{-1}B)(AB^{-1})=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

Como otros lo han explicado, que no tienen ninguna razón para suponer que, en general, las matrices se conmuta.