¿Cuáles son los mejores temas para aprender en un primer (y segundo) curso de Teoría de Categorías?

Question

Soy estudiante de matemáticas en mi último año de licenciatura y estoy haciendo un primer curso de Teoría de Categorías. El profesor que imparte el curso no es un teórico de la categoría y debido a la diferente formación de mis compañeros estamos avanzando lentamente (ya casi hemos terminado el semestre). Me temo que no vamos a cubrir los mismos temas que se estudian en otros cursos de Teoría de Categorías. Hasta ahora hemos visto las definiciones de

• categoría,
• categoría concreta,
• subcategoría,
• retracción,
• monomorfismo,
• epimorfismo,
• bimorfismo,
• isomorfismo,
• functor,
• transformación natural,
• producto,
• coproducto,
• categoría pequeña y
• cuasi-categoría.

Sé que eventualmente llegaremos al Lemma de Yoneda, así que mis preguntas son:

1. ¿Son estos temas suficientes para un primer curso de Teoría de Categorías para estudiantes universitarios?
2. Si no es así, ¿cuáles son los mejores temas para aprender en un primer curso de Teoría de Categorías para estudiantes universitarios?
3. Estoy planeando hacer el siguiente curso, así que debería estudiar con antelación: ¿Cuáles son. Los mejores temas para aprender en un segundo curso de Teoría de Categorías?

Answer 1

Hay algunas grandes lagunas en esa lista que puedo ver (también deberían eliminarse las cuasicategorías), a saber

• limita y colímetros más general que los productos y coproductos,
• propiedades universales y
• funtores adjuntos .

Deberías saber absolutamente lo que son después de pasar un semestre aprendiendo la teoría de las categorías porque la gente (no sólo los teóricos de las categorías) las utiliza todo el tiempo. Más allá de eso (por ejemplo, para un segundo curso), depende mucho de tus intereses. Algunas posibilidades al azar:

• mónadas ,
• Extensiones de kan ,
• categorías monoidales y 2-categorías ,
• categorías enriquecidas y categorías abelianas ,
• categorías cerradas cartesianas y topoi .