pares de correlación de tres variables aleatorias

Question

Asumir tres variables aleatorias tienen la igualdad de todos los pares de correlación. ¿Cuáles son los posibles valores de esta correlación? Puede ser que todos estos valores se consigue?

La solución, dice $\rho \in [-\frac 12,1]$, pero sin ninguna explicación. Alguien puede darme una pista?

Answer 1

Sugerencia: existen variables aleatorias $X_1$, $X_2$ y $X_3$ parejas con las correlaciones $\rho_{12}$, $\rho_{13}$ y $\rho_{13}$ si y sólo si la matriz $$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & \rho_{12} & \rho_{13}\\ \rho_{12} & 1 &\rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{pmatrix} $$ es positivo semidefinite. Tenemos que existen variables aleatorias $X_1$, $X_2$ y $X_3$ con todos los pares de correlaciones igual a $\rho$ si y sólo si la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & \rho & \rho\\ \rho & 1 &\rho \\ \rho & \rho & 1 \end{pmatrix} $$ es positivo semidefinite (ver más abajo para la explicación). Esta matriz es positiva semidefinite precisamente al $\rho\in[-1/2,1]$.

Tenga en cuenta que no existe $d$ variables aleatorias $X_1,\dots,X_d$ s.t. $\mathrm{cor}(X_i,X_j) = \rho$ ( $i\neq j$ ) si y sólo si $\rho\in [-\frac{1}{d-1},1]$.

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Aquí está una breve explicación de por qué existen variables aleatorias $X_1$, $X_2$ y $X_3$ parejas con las correlaciones $\rho_{12}$, $\rho_{13}$ y $\rho_{13}$ si y sólo si $\Sigma$ es positivo semidefinite.

Supongamos que la matriz de $\Sigma$ es positivo semidefinite. Vamos $$\Gamma = \begin{pmatrix}\gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \gamma_3\end{pmatrix} \sim {\cal N}(0,\Sigma)$$ ser el multivariante variable aleatoria normal con matriz de covarianza $\Sigma$. Entonces la correlación de $\gamma_i$ $\gamma_j$ es igual a $\rho_{ij}$.

Ahora supongamos que $X_1$, $X_2$ y $X_3$ tiene correlaciones $\rho_{ij}$. Podemos suponer que la ${\mathbb E}[X_i] = 0$$\mathrm{cov}[X_i]=1$. A continuación, la matriz de covarianza de $(X_1,X_2,X_3)$ es $$\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & \rho_{12} & \rho_{13}\\ \rho_{12} & 1 &\rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{pmatrix}. $$ Por lo tanto, $\Sigma$ es positivo semidefinite.