Radio de convergencia continua?

Question

Deje $ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ ser analítico. Deje $ r_f(x) $ ser el radio de convergencia de $ f $$ x $. Es $ r_x(f) $ continua?

Como alternativa, hay un $ r_{min} $ me puede elegir para que el poder de la serie de $ f $ $ x $ converge en $ (x-r_{min},\; x+ r_{min}) $ todos los $ x $. Obviamente si $ r_f(x) $ es continua, entonces esto va a ser cierto.

También no esta en las dimensiones superiores, es decir,$ f: [0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $?

Gracias por leer!

Answer 1

Si el cable de alimentación de la serie en $x_0$ tiene radio de convergencia $>r$, entonces el mismo es cierto en un barrio de $x_0$ (usted puede mirar en el estándar de la prueba del hecho de que un poder de la serie en $x_0$ positivos radio de convergencia es analítica en todo punto del intervalo abierto de convergencia).
Por lo tanto $r_f(x)$ es semicontinua inferior, de ahí que haya una (positivo) mínimo en $[0,1]$ ya que es compacto. El mismo razonamiento se trabaja para dimensiones superiores.
Si quieres demostrar la plena continuidad de $r_f(x)$, la única prueba de que sé que se basa en (básico) análisis complejo.