$\pi$ , $e$ , $\phi$ y girasoles

Question

Mientras leía algunos materiales de Internet sobre diseño, me encontré con esta foto y este comentario:

Me pareció un poco sorprendente. Sabía que el verdadero girasol sigue la proporción áurea de alguna manera (pero no conozco los detalles). Pero ¿cómo es que los patrones de $\pi$ y $e$ siguen siendo "periódicas", pero diferentes? ¿Qué afecta a la "escasez" del patrón? ¿Existe alguna herramienta para visualizar el patrón de girasol para diferentes valores de la "constante" que lo genera?

¿Son reales las afirmaciones que aparecen en la foto y en su comentario?

¿Cuál es la base matemática más allá de todo esto?

¿Es diferente la forma resultante para los números racionales e irracionales? ¿Y los números trascendentes?

NOTA: Acabo de ver que hay un error (probablemente una errata) en la imagen: $1.681$ debe ser $1.618$ ¿verdad?

Answer 1

Esto es pura divulgación biomatemática desinformada. Estas famosas constantes no tienen más razón de ser que cualquier otro valor real, e incluso si lo hicieran, esto podría ser aproximadamente cierto al primer o segundo decimal y no verificable para el siguiente.

La pseudo-idoneidad de $\phi$ como se muestra en la figura es sólo debido a un menor valor de la constante, lo que resulta en una mejor compactación. Y no hay más "periodicidad" que la causada por la revolución (en realidad, no hay periodicidad alguna, son espirales).

Además, existe una razón para que la proporción áurea aparezca en la naturaleza, debido a su relación con los números de Fibonacci ( $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ ): cuando un proceso físico implica esta recurrencia (como en la reproducción de los conejos, a diferencia del patrón de los girasoles), la proporción áurea está ahí en el límite. También aparece con la simetría rotacional de orden 5 (que, por cierto, se sabe que es imposible como orden de simetría en los cristales). Nótese que cualquier recurrencia con coeficientes enteros sólo puede generar números algebraicos.

$\pi$ puede aparecer si se extiende la piel de un cilindro de revolución.

No se me ocurre un proceso sencillo que genere $e$ . (Las curvas exponenciales surgen en muchas situaciones en el marco de los sistemas lineales, pero la base no tiene por qué ser específicamente $e$ .)

Por último, pero no menos importante, no hay ninguna relación real entre la estética y la proporción áurea, esto es folclore. Nadie notaría una diferencia entre $\phi$ proporciones y, digamos $1.6$ o $\sqrt3$ o $e-1$ .

Answer 2

¿Cómo son los patrones de un número $a$ ¿Generado? Traza los puntos con coordenadas polares $r=r_0\cdot c^n$ , $\theta = \theta_0+n\cdot a\cdot 2\pi$ para $n=1,2,\ldots$ , donde $c$ es una constante adecuada ligeramente inferior a $1$ (o por encima de $1$ si quieres que el patrón crezca de dentro a fuera)

Aunque no sea trascendente, $\phi$ es el "número más irracional", y eso es lo que en última instancia hace que el patrón sea más eficiente (y agradable). La afirmación "más irracional" puede precisarse con el uso de fracciones continuas. Patrones para racionales $a=\frac uv$ parecería un "molino de viento" recto con $v$ alas. El patrón para $\pi$ parece casi un molino de viento recto con $7$ alas. Eso es de la famosa aproximación $\pi\approx\frac{22}7$ .

Answer 3

Este tipo de patrones proviene de actividades biológicas como la división celular. La forma de espiral proviene de un método de crecimiento y desarrollo y el patrón en la superficie curvada de la base del compuesto parece ser el primer patrón de espiral que llena la superficie.

Las semillas se crean en el centro y crecen a medida que la superficie se ensancha en un patrón de llenado de la superficie que varía en el tiempo.

Es una geometría magistral.