Condiciones suficientes para que la función característica sea diferenciable

Question

Dada una variable aleatoria $X$ Su función característica se define como:

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]$$

Me pregunto qué condiciones se requieren para que la función característica de una variable aleatoria sea diferenciable (es decir, para que $\frac{d\phi_X(t)}{dt}$ para existir)?

Answer 1

Se puede utilizar la función característica de una variable aleatoria para encontrar sus momentos. Así, si $X$ tiene $k$ momentos ( $E|X|^k <\infty \, a.s. $ ), entonces la función característica será $k$ -veces diferenciable en toda la línea real ya que una de sus propiedades es que es uniformemente continua en todo el espacio.

Quizás esto no sea útil, ya que lo más probable es que quieras saber si una variable aleatoria tiene momentos mirando la función característica.