La hipótesis continua (CH) y su equivalente

Question

Para un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}^2$$x,y \in \mathbb{R}$, definimos $A^y=\{x \in \mathbb{R}\mid (x,y) \in A\}$$A_x=\{y \in \mathbb{R}\mid(x,y) \in A\}$.

La proposición: La hipótesis continua (CH) es equivalente a la existencia de un conjunto $A \in \mathbb{R}^2$ tal que $A^y$ $(\mathbb{R} \setminus A)_x$ son tanto contables para todos los $x,y \in \mathbb{R}$.

Me quedé atrapado en el recíproco de la parte, que es la siguiente:

Deje $A \subseteq \mathbb{R}$ como se define en la proposición y supongamos que el CH falla. A continuación,$\aleph_1 < \mathfrak{c}$. Hemos orden bien $\mathbb{R}$ $\{x_{\alpha}\mid\alpha < \mathfrak{c}\}$ y deje $X=\cup_{\alpha < \aleph_1} A^{x_{\alpha}}$. Por supuesto, cada una de las $A^{x_\alpha}$ es contable, por lo $\operatorname{card}(X) \leq \aleph_1 < \mathfrak{c}$. De ello se sigue que podemos encontrar algunos de $x \in \mathbb{R} \setminus X$. A continuación, para cada $\alpha < \aleph_1$, $x \notin A^{x_\alpha}$. Por lo $(x,x_\alpha) \notin A$. Por lo tanto $x_\alpha \in (\mathbb{R}\setminus X)_x$. Por lo tanto $\operatorname{card}((\mathbb{R}\setminus X)_x) \geq \aleph_1$, una contradicción.

No entiendo

(i) por Qué el pedido de $\mathbb{R}$ durante la prueba?

(ii) Por $\operatorname{card}(X) \leq \aleph_1 < \mathfrak{c}$?

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que tenemos el axioma de elección aquí.

En el hecho de que el axioma de elección es coherente que los números reales son un contable de la unión de conjuntos contables, pero el continuo hipótesis es falsa (en el sentido de que existe un innumerable conjunto de los números reales que no es de la misma cardinalidad de los números reales). En ese caso, escriba $\Bbb R$ como distinto de la unión de $A_n$$n\in\omega$, todos son contables. Y deje $A\subseteq\Bbb R^2$ se define como $$A=\{(x,y)\mid x\in A_n\land y\in A_m\rightarrow n\leq m\}$$

A continuación, para cada $y\in\Bbb R$ si $y\in A_n$ $A^y=\bigcup_{k\leq n}A_k$ que es una unión finita de conjuntos contables; y para cada una de las $y\in\Bbb R$, $y\in(\Bbb R^2\setminus A)_x$ si y sólo si $(x,y)\notin A$ es decir $y\in A_k$ algunos $k<n$, así que de nuevo tenemos una unión finita de conjuntos contables.

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Así que ahora que hemos establecido que el axioma de elección es esencial aquí, en algún grado, de todos modos, que se convierte en algo obvio por qué necesitamos a fin de $\Bbb R$. Esto es aún más evidente si se considera la implicación $\sf CH\implies (*)$ donde $(*)$ es la existencia de $A$:

Suponga que $\sf CH$ mantiene, vamos a $\{x_\alpha\mid\alpha<\omega_1\}$ ser una enumeración de $\Bbb R$ y deje $A=\{(x_\alpha,x_\beta)\mid \alpha<\beta\}$. No es difícil comprobar que esta $A$ de hecho satisface la quería propiedad.

De modo que la misma idea se debe trabajar en la otra dirección. Pero luego tenemos un poco de un problema, ya que aquí sólo teníamos que mostrar que uno de los testigos, y en la segunda dirección que tenemos que mostrar que si $\sf CH$ falla, entonces no hay testigos.

Para resolver esto, tenemos bien el fin de $\Bbb R$ y demostrar que no hay tal $A$ puede existir. Y de hecho si $A$ es cualquier conjunto con el querido de la propiedad, a continuación, $X=\bigcup_{\alpha<\omega_1}A^{x_\alpha}$ es una unión de $\aleph_1$ contable de conjuntos, por lo tanto, su cardinalidad es $\aleph_1$.