Utilizando el Valor medio Teorema, demostrar que $|\sin{a} - \sin{b}| \leq |a - b|$ $\forall a, b \in \mathbb{R}$.
Estoy trabajando para averiguar un método para encontrar que $|\sin{a} - \sin{b}| \leq |a - b|$ $\forall a, b \in \mathbb{R}$, pero todavía no he incluido una aplicación de la MVT, y creo que mi enfoque tiene algo de redundancia (o, al menos, no es que elegante). Además, ni siquiera estoy tan seguro de lo que he escrito es muy útil en la demostración de esta conclusión.
$$ \begin{align*} \\ \text{Assume } \forall \sin{x} \implies \sin{x} = \sin{(x \bmod 2\pi)} \\ \text{case: } a &> b \wedge a \leq \pi \wedge b \leq \pi \implies \\ 1 &\geq \sin{a} \geq 0 \wedge 1 \geq \sin{b} \geq 0 \implies \\ 0 &\leq |\sin{a} - \sin{b}| \leq 1 \\ \\ \text{case: } a &> b \wedge a \geq \pi \wedge b \leq \pi \implies \\ -1 &\leq \sin{a} \leq 0 \wedge 1 \geq \sin{b} \geq 0 \implies \\ 0 &\leq |\sin{a} - \sin{b}| \leq 2 \\ \\ \text{case: } a &> b \wedge a \geq \pi \wedge b \geq \pi \implies \\ -1 &\leq \sin{a} \leq 0 \wedge -1 \leq \sin{b} \leq 0 \implies \\ 0 &\leq |\sin{a} - \sin{b}| \leq 1 \\ \\ \text{case: } a &= b \implies \\ 0 &= |\sin{a} - \sin{b}| = |a - b| \\ \\ \text{case: } a &< b \wedge a \leq \pi \wedge b \leq \pi \implies \\ 1 &\geq \sin{a} \geq 0 \wedge 1 \geq \sin{b} \geq 0 \implies \\ 0 &\leq |\sin{a} - \sin{b}| \leq 1 \\ \\ \text{case: } a &< b \wedge a \leq \pi \wedge b \geq \pi \implies \\ 1 &\geq \sin{a} \geq 0 \wedge -1 \leq \sin{b} \leq 0 \implies \\ 0 &\leq |\sin{a} - \sin{b}| \leq 2 \\ \\ \text{case: } a &< b \wedge a \geq \pi \wedge b \geq \pi \implies \\ -1 &\leq \sin{a} \leq 0 \wedge -1 \leq \sin{b} \leq 0 \implies \\ 0 &\leq |\sin{a} - \sin{b}| \leq 1 \end{align*} $$
Me parece que es bastante intuitivo para $|a - b| \geq 2$ que $|\sin{a} - \sin{b}| \leq 2$, teniendo en cuenta $\sin{x} \leq 1 \text{ } \forall x \in \mathbb{R}$. Pero comprender y considerar los casos de $|a - b| < 2$ parece un poco menos intuitiva, tal vez es concebible (pero no necesariamente) que $|\sin{a} - \sin{b}| > |a - b|$ para algunos valores de $|a - b| < 2$.
Insight?
Edit: he refinado mi prueba a la siguiente estructura:
El Valor medio Teorema de los estados: una función de $f$ que es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ $^{\textbf{(1)}}$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ $^{\textbf{(2)}}$ tiene al menos un valor de $c: a < c < b$ donde $f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Set $f(x) = \sin{x} \implies f(x)$ es continua y diferenciable $\forall x \in \mathbb{R}$ y todos los sub-intervalos $^{\textbf{(1, 2)}}$ $ \therefore$ al $\exists a, b: b < c < a \implies \exists f'(c) = \dfrac{f(a) - f(b)}{a - b} \implies \cos{c} = \dfrac{\sin{a} - \sin{b}}{a - b}$. Tomar el valor absoluto de ambos lados de esta igualdad para encontrar $\dfrac{|\sin{a} - \sin{b}|}{|a - b|} = |\cos{c}|$, y desde $\dfrac{|\sin{a} - \sin{b}|}{|a - b|} = \dfrac{|\sin{b} - \sin{a}|}{|b - a|}$, esto es cierto $\forall a, b \in \mathbb{R}$. Desde $|\cos{x}| \leq 1 \text{ } \forall x \in \mathbb{R} \implies |\cos{c}| \leq 1 \implies \dfrac{|\sin{a} - \sin{b}|}{|a - b|} \leq 1.$ Multiplicando a través de la desigualdad por $|a - b|$ encuentra el resultado: $|\sin{a} - \sin{b}| \leq |a - b|$.
