Sabemos que para una secuencia de funciones medibles, $L^p$ convergencia implica la convergencia en medida. Sin embargo, el recíproco es falso. Estoy teniendo problemas para venir para arriba con un contra-ejemplo, ayuda por favor! También, hace la convergencia en medida difieren de los de un.e. pointwise convergencia?
Respuestas
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La convergencia en casi todas partes, implica la convergencia en medida por medida finita del espacio. Usted puede ver esto aplicando el teorema de convergencia dominada a la integral de la función de $\chi_{\{|f_n - f|>\epsilon\}}$ (que es la medida del conjunto $\{|f_n - f|>\epsilon\}$), el cual está dominado por $1$ en un número finito de medir el espacio. En una medida infinita del espacio, este no necesita tener. Un ejemplo en el que falla es $f_n (x) = \chi_{[n,\infty)}(x)$ que converge a cero pointwise en todas partes, pero por $\epsilon < 1$ tenemos $\mu\{x: |f_n(x)|>\epsilon\} = \infty$ cualquier $n$, por lo que no convergen en la medida.
Un ejemplo de una función que converge a cero en la medida, pero no en $L^1$$f_n = n \chi_{[0,\frac{1}{n}]}$, ya que el $\int |f_n| = 1$ por cada $n$, pero $\mu\{|f_n| > \epsilon\} = \frac{1}{n}$ $\epsilon$ pequeños.
Karl M. Davis
Puntos
11
Aquí es un contraejemplo de tal manera que tenemos de convergencia en medida, pero no en $L^p$. Tome $f_n=2^{-n}1_{[2^n,2^{n+1}]}$,$|\{f_n>\epsilon\}|\rightarrow 0$. Por lo tanto $f_n\rightarrow 0$ en la medida, sino $||f_n||_{L^p}=1$ todos los $n$.
EDIT: Mi anterior contraejemplo no fue la correcta, y me hizo una declaración falsa acerca de la convergencia de una.e. He corregido mi contraejemplo, y se eliminan de la declaración falsa.
