Deje $K$ ser un campo, $f \in K[X]$ separables y irreductible con $\text{deg}(f)=n$; $x_1,...,x_n$ son las raíces de $f$ en la división de campo de la $f$$K$. Deje $g \in K[X]$ ser cualquier polinomio con $\text{deg}(g)\leq n-1$. Yo quiero probar la siguiente declaración: $$ K[g(x_1)]=K[x_1] \Longleftrightarrow g(x_1),...,g(x_n) \ \text{are pairwise distinct}.$$
Respuesta
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Sugerencia 1:
$K(g(x_1)) \subset K(x_1)$ es siempre verdadera, de modo que los dos son iguales iff $[K(x_1):K]=[K(g(x_1)):K]$.
Sugerencia 2:
En cualquier finita de Galois de la extensión de $L/K$ si $G = Gal(L/K)$, el polinomio mínimo de a $y$ $K$ $f(X)=\Pi_{i=1}^r(X-y_i)$ donde $\{y_1,\dots,y_r\}$ es de la órbita de la $G$ actuando en $y$, y el $y_i$ son distintos.* Desde $f(X)$ es el polinomio mínimo de a $x_1$ si $L$ es la división de campo para $f(X)/K$, $G=Gal(L/K)$, a continuación, $G$ actúa transitivamente sobre las raíces de la $f$ por lo que he dicho anteriormente. ¿Qué nos dice esto acerca de la polinomio mínimo de a $g(x_1)$?
*Esto es debido a que $f(X)$ es fijo por $G$, por lo que los coeficientes de mentira en $K$, y cualquier polinomio en $K[X]$ ha $y$ como root tiene todos los $y_i$ como raíces.
