En $S_{4}$, encontramos un Sylow 2-subgrupo y un Sylow 3-subgrupo.

Question

P: En $S_{4}$, encontramos un Sylow 2-subgrupo y un Sylow 3-subgrupo.

R: Con la colaboración de todos los comentarios y aportaciones, me han planteado la siguiente respuesta. Gracias a todos por la orientación.

$|S_{4}|= 24 = 2^{3}3$. Deje $P$ ser un sylow 2-subgrupo con $|P| = 2^{3}$, y deje $K$ ser un sylow 3-subgrupo con $|K|=3$. Así que tenemos que encontrar subgrupos de $S_{4}$ de la orden de 8 y de orden 3. Para el subgrupo de orden 3, ya que es de primer orden, es cíclico, por lo que necesitamos encontrar un elemento de $S_{4}$ a de orden 3. Por lo que cualquier 3-ciclo de $S_{4}$ será suficiente. Como un ejemplo concreto, vamos a llamar a $K = \langle(123)\rangle$. Ahora debemos encontrar $P$.

Desde $|P| = 8$, cada elemento en $P$ debe tener un orden $1,2,$ o $4$. Podemos elegir el Diedro subgrupo $D_{4}$$P$. Así

$P= \lbrace e, (1234), (13)(24), (1432),(24) ,(14)(23), (13), (12)(34)\rbrace$.

Answer 1

Parece que no han entendido bien alguna parte de los teoremas de Sylow: no es cierto que $n_2$ $n_3$ brecha $3$. Los teoremas de Sylow estado que $n_2\mid3$$n_2\equiv1\pmod2$,$n_3\mid2^3$$n_3\equiv1\pmod3$.

El problema es encontrar (y describir) dos Sylow-subgrupos de $S_4$. Como usted ha notado, porque $|S_4|=2^3\times3$ cada Sylow-$3$ subgrupo es de orden $3$. No debería ser difícil de encontrar y describir un subgrupo.

Cada Sylow-$2$ subgrupo es de orden $2^3=8$. Así que todos sus elementos tienen el fin de $1$, $2$, $4$ o $8$. No hay elementos de orden $8$$S_4$, por lo que debemos fijarnos en los elementos de las órdenes de $2$$4$. No hay muchos de esos, y de intentar un par de combinaciones, debe darle un subgrupo de orden $8$ más rápidamente.

Answer 2

Un par de consejos para encontrar un Sylow $2$-subgrupo sin demasiado trabajo manual:

1. Cada elemento de a $S_4$ que no es un $3$-el ciclo de la orden $1$, $2$, o $4$, por lo tanto, está contenida en algunos Sylow $2$-subgrupo.
2. Por los teoremas de Sylow, $n_2$ es $1$ o $3$. Podemos excluir $1$ como una posibilidad, porque tenemos más de $8$ elementos de orden $2$ o $4$.
3. El Sylow $2$-subgrupos son conjugado a cada uno de los otros, por lo tanto isomorfo a cada uno de los otros, de modo que cada uno de ellos tiene el mismo número de elementos de cada tipo de ciclo.
4. Hay seis transposiciones ($2$-ciclos) en $S_4$. Por otra parte, no tenemos una superposición de dos transposiciones en el mismo Sylow $2$-subgrupo, ya que su producto es una $3$-ciclo, por ejemplo,$(12)(23) = (123)$, que tiene orden de $3$ y por lo tanto no puede ser en cualquier $2$-subgrupo. Esto significa que hay exactamente dos disjuntas transposiciones en cada uno de Sylow $2$-subgrupo.

Así, teniendo en cuenta lo anterior, sabemos que las tres Sylow $2$-subgrupos debe empezar de la siguiente manera:

$$S_1 = \{e, (12), (34), (12)(34),\ldots\}$$ $$S_2 = \{e, (13), (24), (13)(24),\ldots\}$$ $$S_3 = \{e, (14), (23), (14)(23),\ldots\}$$

Ahora la razón similar sobre el $4$-ciclos.