Sorprendentes identidades / ecuaciones

Question

¿Cuáles son algunos de los sorprendentes ecuaciones / identidades que se han visto, que no habría esperado?

Esto podría ser números complejos, identidades trigonométricas, combinatoria resultados algebraicas de resultados, etc.

Me gustaría solicitar para evitar 'estándar' / conocido los resultados como $ e^{i \pi} + 1 = 0$.

Por favor, escriba un único de identidad (o grupo de identidades) en cada respuesta.

He encontrado esta lista de Divertido identidades, en el que hay cierta superposición.

Answer 1

Por Ramanujan me da la piel de gallina:

$$ \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{ (4k)! (1103+26390k) }{ (k!)^4 396^{4k} } = \frac1{\pi}. $$

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P. S. Sólo para hacer esto más interesante, definir la unidad fundamental de la $U_{29} = \frac{5+\sqrt{29}}{2}$ y fundamental de soluciones para ecuaciones de Pell,

$$\big(U_{29}\big)^3=70+13\sqrt{29},\quad \text{thus}\;\;\color{blue}{70}^2-29\cdot\color{blue}{13}^2=-1$$

$$\big(U_{29}\big)^6=9801+1820\sqrt{29},\quad \text{thus}\;\;\color{blue}{9801}^2-29\cdot1820^2=1$$

$^6\left(\big(U_{29}\big)^6+\big(U_{29}\big)^{-6}\right)^2 =\color{blue}{396^4}$$

a continuación, podemos ver los números enteros en todo el fórmula,

$$\frac{2 \sqrt 2}{\color{blue}{9801}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!}{k!^4} \frac{29\cdot\color{blue}{70\cdot13}\,k+1103}{\color{blue}{(396^4)}^k} = \frac{1}{\pi} $$

Bonito, ¿eh?

Answer 2

${1\over 2} < \left\lfloor \mathrm{mod}\left(\left\lfloor {y \over 17} \right\rfloor 2^{-17 \lfloor x \rfloor - \mathrm{mod}(\lfloor y\rfloor, 17)},2\right)\right\rfloor$

Lo anterior es la desigualdad más interesante en matemáticas. Si trazar para que satisfacer la desigualdad las zonas sombreadas, esto es lo que obtienes:

Esto se conoce como de Tupper fórmula referencial del uno mismo.

Answer 3

%#% #% enésimo número de Fibonacci.

Answer 4

Tomado de la primera pregunta que se me plantea al incorporarse M. SE:

Definir una función $f(\alpha, \beta)$, $\alpha \in (-1,1)$, $\beta \in (-1,1)$

$$ f(\alpha, \beta) = \int_0^{\infty} dx \: \frac{x^{\alpha}}{1+2 x \cos{(\pi \beta)} + x^2}$$

Puede utilizar, por ejemplo, el Teorema de los Residuos para mostrar que

$$ f(\alpha, \beta) = \frac{\pi \sin{\pi \alpha \beta}}{ \sin{\pi \alpha} \sin{\pi \beta}} $$

Claramente, a partir de esta última expresión, $f(\alpha, \beta) = f(\beta, \alpha)$. Pero, desde donde hace un simétrica resultado venir? La integral de sí mismo no se presta a la predicción de cualquier simetría tan lejos como yo (y muchos otros) puede ver.

Answer 5

%#% #% encontré que uno impresionante.

P.S. En general, para %#% #%. Por lo tanto,

$^2+11^2+12^2=13^2+14^2$$

$n>0$, the sum of $n+1$ consecutive squares starting with $x_1 = 2n^2+n$ is equal to $n$ consecutive squares starting with $y_1 = x_1+(n+1)$

$^2+4^2 = 5^2$$

y así sucesivamente.