prueba de que $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(x+n)}{x^2 + n^2}$ converge uniformemente

Question

Demostrar que $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(x+n)}{x^2 + n^2}$ converge uniformemente para $x\geq 0$ .

Este ejercicio está en un texto sobre la convergencia uniforme, he tratado de utilizar la prueba de Weierstrass sin éxito. tratando de citar con

$a_n=\sqrt{x+n}/(x^2 + n^2)$

para que $\ln(x+n)/(x^2 + n^2)\leq\sqrt{x+n}/(x^2 + n^2)\,,$

pero entonces no puedo encontrar un criterio para probar que $\sqrt{x+n}/(x^2 + n^2)$ converge (y si pruebo esto entonces $f(x)$ converge uniformemente como afirma la prueba de Weierstrass)

Answer 1

Una pista: $(x+n)^2 \le 2(x^2 + n^2)$ .

$$\dfrac{\sqrt{x+n}}{x^2+n^2} \le \dfrac{\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{x^2+n^2}}{x^2+n^2} = \dfrac{\sqrt[4]{2}}{(x^2+n^2)^{3/4}} \le \dfrac{\sqrt[4]{2}}{n^{3/2}}.$$