Definición de Anillo

Question

Estoy estudiando Álgebra Abstracta ahora, cubriendo en la actualidad los anillos. En la introducción del tema, yo soy curioso en cuanto a por qué no hay ninguna necesidad de que exista una identidad multiplicativa. Entiendo que para ser un anillo, se requiere que el conjunto sea un abelian grupo bajo la operación de adición y una monoid bajo la multiplicación. Pero ¿cuál es la razón por la monoid, en lugar de un grupo en virtud de la multiplicación (o la falta de la multiplicación?

Answer 1

Básicamente, usted desea abarcar una gran clase de objetos que el estudio es útil, mientras que al mismo tiempo tener "suficiente" de la estructura a ser capaz de decir cosas interesantes.

Esto conduce a un difícil equilibrio: la más requisitos que poner en la estructura, el menor número de estructuras que la definición de la cubierta. Por ejemplo, si necesita que la estructura de ser un grupo abelian bajo tanto la adición y la multiplicación, a continuación,$\mathbb{Z}$, los números enteros, no califican. Así, el menor número de condiciones (requisitos), la más estructuras que esperar para satisfacerlos.

Por otro lado, con el fin de ser capaz de decir cosas interesantes, normalmente se necesitan suposiciones. Eso significa que las más de las condiciones que puso sobre la estructura, la más cosas que usted tiene que "jugar", y la más probable es ser capaz de decir interesante (o alcance) de las cosas. Considerar, por ejemplo, "grupos finitos". Estamos muy lejos de tener una respuesta satisfactoria a la pregunta "¿cuáles son todos los grupos finitos?"; pero tirar la simple condición de que la multiplicación de viaje, y a la pregunta "¿cuáles son todas las finito abelian grupos?" ya tiene una muy buena respuesta (la estructura teorema de finitely generado abelian grupos). Así, las más de las condiciones de colocar en los objetos que desea estudiar, más que esperar a ser capaz de decir acerca de ellos.

Y así, se suelen estudiar semigroups y grupos en lugar de los magmas; ¿por qué? Porque los grupos y semigroups son lo suficientemente frecuente que una gran cantidad de objetos de satisfacer las condiciones, y, al mismo tiempo, los requisitos son lo suficientemente fuertes como para dejar que nos dicen un montón de cosas interesantes acerca de ellos (tenemos más difícil con semigroups que con los grupos, y aún más difícil con los bucles y los magmas...)

Para los anillos, un buen equilibrio resulta ser cuando se requiera la estructura multiplicativa de ser una semigroup o un monoid, en lugar de pleno derecho del grupo. (Podemos hacer el estudio de los casos donde se tiene un grupo: se obtiene de los campos y de la división de los anillos). Un monoid estructura (con una identidad multiplicativa) solía ser preferido, pero resulta que para excluir un montón de interesantes casos (muchos de los cuales surgen en lugares como el análisis funcional). Así que una expansión de la clase de estructuras, en los que sólo tienen un semigroup estructura se ha preferido, a pesar de que muchos autores todavía asumen todos los anillos tienen una identidad y que homomorphisms entre los anillos de mapa de identidades identidades (por ejemplo, Lam libros hacer esta suposición).

Así que... es un acto de equilibrio entre tratar de "tapar" un montón y al mismo tiempo ser capaz de "decir" mucho. Pidiendo la estructura multiplicativa a ser un semigroup o un monoid es un buen equilibrio. Hay otros, más débiles estructuras (tales como cerca de los anillos y semi-anillos), así como con los grupos que han semigroups, quasigroups, bucles, y de los magmas.

Answer 2

Tomando su "lugar de grupo en virtud de la multiplicación", la frase:

Es interesante considerar las cosas que tienen algunas propiedades similares a los enteros bajo la suma y la multiplicación. Así que usted quiere un grupo en adición, pero no bajo la multiplicación.

Answer 3

El punto de estructuras algebraicas no es sólo tener estructuras algebraicas, sino más bien tener estructuras algebraicas que reflejan las cosas que ya están ahí.

Uno de los más simples algebraica de los objetos que hay es la colección de los números enteros, $\mathbb{Z}$. Tenemos dos operaciones, la multiplicación y la suma, y la satisfacción de todo tipo de propiedades. Sin embargo, si nos exigió que nos han inversos multiplicativos, a continuación, $\mathbb{Z}$ no encajaría en nuestro molde, y queremos algún tipo de definición que describe la estructura presente en $\mathbb{Z}$.

Lo que si queremos considerar $2\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$, los números enteros? Todavía tenemos la multiplicación y la suma, pero ya no tenemos una identidad multiplicativa. Si esto se considera un anillo? O algo más? Esto depende de a quién le preguntes, como una gran cantidad de personas que requieren anillos de tener multiplicativo de identidades, que se dice explícitamente "anillo sin unidad" de lo contrario. Aún así, independientemente de lo que hemos llamado, es claro que debemos tener algún tipo de estructura algebraica que modela las propiedades de $2\mathbb{Z}$.

Si, cuando ignoramos $0$, tenemos un grupo en virtud de la multiplicación, obtenemos la idea de un anillo de división, y si el grupo abelian de esta noción de un campo, que es muy importante. Los números racionales, los números reales, los números complejos son todos los campos. Algunas de las más bellas de las matemáticas viene de trabajar sobre los campos, como hay cosas que usted puede hacer sobre los campos que no se puede hacer más arbitrario de los anillos. Sin embargo, como hemos visto, es importante que consideremos los anillos, porque de lo contrario no sería básico algebraicas objetos por ahí pidiendo un nombre.

Answer 4

Si un montón de cosas interesantes que puede ser probada sin asumir que hay una unidad, suponiendo que haya una unidad de haría más que complicar las pruebas con un irrelevante asunción. Así que si usted está recibiendo este material de un libro de texto, a ver que resultados el libro demuestra sin asumir una unidad.

Answer 5

Muchos matemáticos sólo suponga que el conjunto es una semigroup no monoid bajo la multiplicación por ejemplo Nathan Jacobson,I. N. Herstein,Seth Warner,N. McCoy, y Van der Werden. Hay algunos teoremas de los anillos que requieren un multiplicativo (a la derecha o a la izquierda o a una identidad sin embargo. Para una interesante nonunital anillo de ver "Planetmath.org" - Klein 4 anillo. Ver Hopkins teorema (un Artinian anillo con identidad es un Noetherian anillo) por una necesidad de elemento de identidad de un anillo. También suena con un elemento de identidad tienen un ideal maximal,un máximo ideal de derecho, y una máxima de la izquierda ideal usando el lema de Zorn.Muchos de los primeros resultados en forma de Anillo en Teoría no necesita de la asumption que un anillo se unital. Muchas fascinante no unital anillos y subrings se encuentran en la matriz de anillos sobre un no unital anillo.