Homología del bucle espacio

Question

Deje $X$ ser un buen espacio (múltiple, CW-complejos, lo que usted prefiera). Me preguntaba si hay una computable relación entre la homología de $\Omega X$, el bucle espacio de $X$, y la homología de $X$. Sé que, casi por definición, la homotopy grupos son los mismos (pero desplazado una dimensión). Debido a que la relación entre homotopy y grupos de homología de grupos es muy difícil, espero que la homología de $\Omega X$ es muy difícil de calcular en general. Referencias sería genial.

Answer 1

Idea General para el cálculo de $H(\Omega X)$ (debido a la Serre, AFAIK), es considerar un (Serre) fibration $\Omega X\to PX\cong pt\to X$ y el uso de Leray-Serre espectral de la secuencia (permite, en particular, para calcular fácilmente (al menos, en simplemente conectado caso) $H(\Omega X;\mathbb Q)$; cohomology con coeficientes enteros son, de hecho, más complicada). Es discutido, creo, en ningún libro de texto que cubren LSSS - por ejemplo, en Hatcher.

Answer 2

Adams y Hilton dio un functorial manera de describir la homología anillo de $H_\ast(\Omega X)$ en términos de la homología $H_\ast(X)$, al menos cuando se $X$ es simplemente conectado a CW complejo con un $0$-célula y no $1$-de las células. Usted encontrará una más moderna de la discusión de su construcción aquí.