¿Cuáles son holomorphic y anti-holomorphic componentes? ¿Por qué no llamamos complejo de componentes y sus conjugados? ¿Qué es holomorphic de transformación de coordenadas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$\newcommand{\dd}{\partial}\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}$ $z^{\beta}$ Son enfáticamente no holomorphic coordenadas en general. "Holomorphic" se refiere a la superposición de los mapas de ser holomorphic, es decir, la satisfacción de los Cauchy-Riemann ecuaciones, no sólo a las coordenadas de ser valores complejos.
En más detalle, la fijación de una identificación de $\Cpx^{n}$$\Reals^{2n}$, decir $z^{\beta} = x^{\beta} + iy^{\beta}$, e identificar $$ (z^{1}, \dots, z^{n}) \leftrightarrow (x^{1}, \dots, x^{n}, y^{1}, \dots, y^{n}). $$ Definir los valores complejos de operadores diferenciales $$ \frac{\dd}{\dd z^{\beta}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\dd}{\dd x^{\beta}} - i\frac{\dd}{\dd y^{\beta}}\right)\qquad \frac{\dd}{\dd \bar{z}^{\beta}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\dd}{\dd x^{\beta}} + \frac{\dd}{\dd y^{\beta}}\right), $$ y su doble uno-formas $dz^{\beta} = dx^{\beta} + i\, dy^{\beta}$, $d\bar{z}^{\beta} = dx^{\beta} - i\, dy^{\beta}$.
Un $C^{1}$ función de $f:\Cpx^{n} \to \Cpx$ es holomorphic si $\dfrac{\dd f}{\dd \bar{z}^{\beta}} = 0$ todos los $\beta$, y es anti-holomorphic si $\dfrac{\dd f}{\dd z^{\beta}} = 0$ todos los $\beta$, es decir, si $\bar{f}$ es holomorphic. Un suave asignación de $f:\Cpx^{n} \to \Cpx^{n}$ es holomorphic si cada componente de la función es holomorphic.
Holomorphic mapas constituyen una enriquecido (pero) delgada subconjunto de todos los lisas de las asignaciones. Entre sus muchas propiedades atractivas, un holomorphic asignación de $F$ es complejo analítica (representable por una convergente de alimentación de la serie en una vecindad de cada punto), y es localmente invertible cerca de un punto de $p$ (es decir, es un local de biholomorphism en $p$) si y sólo si su derivado $dF(p)$ (lo cual es un complejo lineal de asignación) es invertible (no singular).
La regla de la cadena garantiza una composición de holomorphic mapas de holomorphic, por lo que el conjunto de locales biholomorphisms forma un pseudo-grupo. (Vagamente, forma un grupo con módulo de impresión fine acerca de composability.) Por lo tanto, tiene sentido hablar de un "holomorphic estructura" o un "holomorphic sistema de coordenadas" declarando dos $\Cpx^{n}$valores de los sistemas de coordenadas para ser compatible si el cambio de coordenadas (a.k.una. la superposición del mapa) de uno a otro es holomorphic. Esta noción de compatibilidad es una relación de equivalencia; en particular, la compatibilidad es transitiva.
Anti-holomorphic mapas son conjugado-analítica en un sentido obvio, y son localmente invertible en $p$ si y sólo si su Jacobiano es no singular. La derivada de un anti-holomorphic mapa no es complejo lineal, sin embargo, y una composición de anti-holomorphic de mapas no es anti-holomorphic. En consecuencia, no existe la noción de un "anti-holomorphic estructura" o "anti-holomorphic sistema de coordenadas": La correspondiente noción de "compatibilidad" no es transitiva.
Vagamente, "holomorphic" y "anti-holomorphic" no son "dual" o "perfectamente simétrico" conceptos; la distinción entre ellos no es arbitraria. Dicho esto, la definición descansa en última instancia en una selección de complejos de raíz cuadrada $i$$-1$, y podría decirse que esta elección no es arbitraria. Pero esta elección viene determinada por el tiempo que uno le pregunta sobre el complejo de la diferenciabilidad.
Kevin Dong
Puntos
5476
Usted puede hablar acerca de homomórfica y antiholomorphic funciones, pero un general de valores complejos de función suave no va a ser la suma de holomorphic la función con una antiholomorphic uno (por ejemplo, $|z|^2$$\mathbb{C}$). También, la constante funciones son tanto holomorphic y antiholomorphic.
Por otro lado, los valores complejos liso $1$formas de hacer descomponer en holomorphic y antiholomorphic componentes. En coordenadas locales,$(z_i)$, el holomorphic $1$-formularios extendidos por el $dz_i$, con suave (no necesariamente holomorphic) coeficiente de funciones, y la antiholomorphic formas por sus conjugados. Por supuesto, usted debe comprobar que esta definición es independiente de la elección de la (holomorphic) coordenadas.
No sé por qué se llamaría la holomorphic componentes de "complejo", porque ellos no son más complejos que los que antiholomorphic componentes. Por lo general, que sería llamado formas de tipo $(1, 0)$ o $(0, 1)$, debido a que este se generaliza a mayor diferencial de las formas, y un "holomorphic $1$-forma" normalmente es necesario tener holomorphic de los coeficientes.
Es un instructivo ejercicio para comprobar si un holomorphic de transformación de coordenadas es sólo un holomorphic mapa con un holomorphic inversa o no. ¿El dominio y/o codominio tiene que ser un subconjunto de a $\mathbb{C}$?
