Si $a^2 + p^2 = b^2$ $2(a+p+1)$ es un cuadrado perfecto

Question

Se nos da $$ a^2 + p^2 = b^2 $$ where $a,b\in\mathbb{Z}$ and $p$ is prime. We are to show that $$2(a+p+1)$$ es un cuadrado perfecto. Es allí cualquier elegantes maneras de ir sobre este problema? Luchando para encontrar una prueba a mí mismo. Gracias de antemano.

Answer 1

Tenemos $a^2 + p^2 = b^2$$p^2 = b^2-a^2 = (b+a)(b-a)$.

Por lo tanto, $b-a=1$ $p^2 = b+a=2a+1$

Por lo tanto, $2(a+p+1) = p^2 + 2p + 1 = (p+1)^2$