Encontrar el límite de $(1-\cos(x))/x$ $x\to 0$ con el teorema del sándwich

Question

¿Cómo puedo encontrar:

$$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x} $$

Usando el teorema del sándwich. En particular, ¿cómo puedo llegar a su delimitación de funciones?

Si es posible, por favor, trate de no usar derivados.

Answer 1

Aquí está una geométricas squeeze:

Ahora podemos demostrar que:

$$ \frac{1 - \cos x}{x} \lt \sin \frac{x}{2}$$

Tenemos $\displaystyle y = x/2$ ($\triangle ABC$ es isósceles y por lo $\angle CAB = \frac{\pi - x}{2}$) y, por tanto, en $\triangle BDA$, $\displaystyle \sin \frac{x}{2} = \frac{AD}{AB} \gt \frac{AD}{x}$, como $\displaystyle x$ es la longitud del arco $\displaystyle AB$.

Answer 2

Podemos escribir $\cos(x)$ $1 - x^2/2 + x^4/6 - \cdots$ y tan cerca de $x = 0$ tenemos $1 - \cos(x) < x^2/2$, y por lo $\frac{1 - \cos(x)}{x} < \frac{x^2}{2x} = \frac{x}{2}$. Al mismo tiempo, $\cos(x) < 1$$\frac{1 - \cos(x)}{x} > 0$. Así tenemos a $\lim_{x\to0}0 \leq \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x} \leq \lim_{x\to0}\frac{x}{2}$, que por el teorema del sándwich es $0$.

Answer 3

Para cualquier $x$ tal que $0 < |x| \leq \pi/2$, $$ 0 \le \bigg|\frac{{1 - \cos x}}{x}\bigg| = \frac{{1 - \cos |x|}}{{|x|}} = \frac{{\int_0^{|x|} {\sen t \,dt} }}{{|x|}} \le \frac{{\int_0^{|x|} {\pecado |x| \, dt} }}{{|x|}} = \pecado |x|. $$