He escuchado este resultado boca en boca, muchas veces, y sé que de ello se desprende, por ejemplo, de la teoría de los divisores, pero me gustaría ver algunas de las más simples, sencillas maneras de demostrar este hecho.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que hay un valor distinto de cero holomorphic 1 formulario a -$\omega$$S^2$. Entonces tenemos dos gráficos de $U_1, U_2$, cada isomorfo a $\mathbb{C}$, en el que las coordenadas están dadas por $z$$z' = 1/z$. En cada representación, tenemos $\omega = f(z) dz$$\omega = g(z') dz'$. En el solapamiento, debemos tener $f(z) dz = g(1/z) (-1/z^2) dz$ por la transición de las fórmulas. Es decir,$f(z) = g(1/z) (-1/z^2)$$\mathbb{C}-\{0\}$. Si usted escribe el Laurent expansión de la serie (tenga en cuenta que tanto $f,g$ son de entera funciones!) esto es absurdo si $g$ es distinto de cero. Esto también funciona en el algebraicas categoría (y le da una fácil prueba de que la línea proyectiva tiene género cero).
