Deje $\triangle ABC$ ser un ángulo agudo del triángulo. Deje $H$ ser el pie de la perpendicular de a a BC. Deje $K$ ser el pie de la perpendicular de $H$$AB$, vamos a $L$ ser el pie de la perpendicular de$H$$AC$. Deje $AH$ cruzan la circunferencia circunscrita de $ \triangle ABC$$T$, y vamos a la línea a través de $K$ $L$ cruzan la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$$P$$Q$. Demostrar que $H$ es el incentro de $\triangle PQT$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?En cualquier triángulo, el ortocentro y el circuncentro se isogonal conjugados. Desde $AKHL$ es un cuadrilátero cíclico, esto implica que la perpendicular a $PQ$ a través de $A$ pasa por el circuncentro de $ABC$, $O$. Esto implica $\widehat{POA}=\widehat{AOQ}$, lo $\widehat{PTA}=\widehat{ATQ}$, e $AP=AQ$. Deje $A'$ ser el simétrico de a $H$ con respecto al $A$. Si logramos demostrar $AP=AH$, luego la perpendicular $l_P$ $HP$a través de $P$ y la perpendicular $l_Q$ $HQ$a través de $Q$ reunirse en $A'$, lo $PTQ$ es el orthic triángulo del triángulo $\Delta$ delimitado por $l_P,l_Q$ y la perpendicular $l_T$ $HT$través $T$. Esto le da a ese $H$ es el ortocentro de $\Delta$, por lo tanto el incentro de $PTQ$.
La mejor manera que he encontrado hasta ahora para demostrar $AP=AH$ es utilizar algo de trigonometría, pero creo que hay más maneras inteligentes.
Edit: Gracias a wowlolbrommer, aquí es una manera inteligente: $AP=AQ$ implica $\widehat{AQL}=\widehat{ACQ}$, por lo tanto $AQ^2=AL\cdot AC$. Por Euclides primer teorema, $AL\cdot AC = AH^2$, por lo tanto $AP=AQ=AH$ y hemos terminado.