$p^2=p\in \bar{I}$ I ideal del álgebra de Banach $\Rightarrow p\in I$

Question

Dejemos que $I\subset A$ sea un ideal de un álgebra de Banach $A$ . Supongamos que $p\in \overline I$ y $p^2=p$ .

Espectáculo: $p\in I$ .

¿Puede alguien darme una pequeña pista de cómo resolver esto, por favor?

Answer 1

Esto se registra como Lemma 2.7 en

Niels Jakob Laustsen, Thomas Schlumprecht y András Zsák, El entramado de ideales cerrados en el álgebra de Banach de operadores sobre un cierto espacio dual de Banach J. Operator Theory 56 (2006), nº 2, 391-402.

Supongo que $A$ es unital, si no, podemos pasar a la unitización.

Supongamos que $(t_n)_{n=1}^\infty$ es una secuencia en $I$ que converge a un idempotente $p$ . Desde $pAp$ es un álgebra de Banach con identidad $p$ y $pt_np \to p^3=p$ existe $n$ para que $pt_np$ es invertible en $pAp$ . En consecuencia, $p = (psp)(pt_np)$ para algunos $s\in A$ . Esto demuestra que $p\in I$ .