Hay una "lógica de la geometría algebraica", basada en provability en lugar de la verdad?

Question

He estado tomando un curso de Gödel de los Teoremas de Incompletitud. He esencialmente la lógica no de fondo, pero me di cuenta de un llamativo - aunque posiblemente sólo superficial, la similitud entre el concepto de

la enumeración de una relación mediante una fórmula en una teoría

y el concepto de

variedades algebraicas soluciones de ecuaciones polinómicas.

Decimos que una relación $R\subset \mathbb{N}^r$ es enumerado por un $r+1$-lugar fórmula $F(v_1, \dots, v_{r+1})$ en un sistema formal $S$ fib el siguiente se tiene:

1. Si $(n_1,\dots, n_r)\in R$ existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $S\vdash F(n_1, \dots, n_r, m)$;
2. Si $(n_1,\dots, n_r)\notin R$ a continuación, para cada $m\in\mathbb{N}$, $S\vdash \sim F(n_1, \dots, n_r,m)$.

Esto tiene una similitud con el caso de variedades algebraicas, donde si $X$ es una hipersuperficie sobre cualquier campo de $k$ (o más generalmente, tal vez, de un esquema), definido por la desaparición del polinomio $f\in k[x_1, \dots, x_r]$, para un punto de $P$ en la mayor espacio ambiente

$$P\in X \iff f(P)=0.$$

Hay una distinción importante entre estos casos, sin embargo. El caso de la enumeración no es un "si y sólo si" declaración", como en el caso de la geometría algebraica; tal y como yo lo entiendo, esto es, porque estamos hablando de provability de la negación de una fórmula en lugar de la negación de la provability de una fórmula (es decir, que la fórmula no es demostrable). Esto parece más claro cuando, por ejemplo, tomamos

$$F(v_1, \dots, v_{r+1}):= (f(v_1, \dots, v_r) = v_{r+1}).$$

A continuación, $P = (n_1, \dots, n_r)\in X$ (para la geometría caso) si y sólo si $F(P,0)$ es verdadero, mientras que el $P\in R$ (para la relación de los casos) si y sólo si $F(P,0)$ es comprobable en $S$.

A pesar de estas distinciones, se me hizo preguntarme si todo esto es sólo una ilusión o si existe algún teoría de la "provability geometría" en el sentido de que un punto de $P$ pertenece a algún tipo de "lógica objeto geométrico" $X$ cuando la fórmula algebraica $f(P) = 0$ es sustituido por una fórmula lógica $S\vdash F(P)$ es decir, algún tipo de "dualidad" entre provability y la geometría. Tal vez esto puede ser establecido mediante un tipo de functor de puntos de idea de alguna categoría de codificación de la prueba teórica de los datos en la categoría de conjuntos.

Si tal cosa existe,

1. Es un útil de la cosa para el estudio? Hace arrojar luz sobre cualquier problema, ya sea en la geometría algebraica, teoría de los números o de la lógica?
2. Hacer fórmulas que no puede ser demostrado tener cualquier interpretación en este contexto geométrico?
3. ¿Cómo funciona el sistema formal $S$, y la posible sustitución de $\mathbb{N}$ con otro "medio ambiente" (debido a mi ignorancia de la lógica que me estoy poniendo un poco vago aquí) la influencia de dichos objetos?

Yo estaría muy agradecido por las referencias a cualquier cosa en una línea similar a esta idea. Yo también estaría muy agradecido si alguien puede disipar esta como el idealismo!

Answer 1

El concepto que usted describe es un caso especial del modelo de la teoría de la noción de un definibles por el conjunto. En general, dado un lenguaje de $L$ con un modelo de $M$, un subconjunto $S\subset M^n$ es definible si no existe una fórmula en $\varphi$ $n$ libre variables que $M \models \varphi(a_1,...,a_n)$ fib $(a_1,...,a_n)\in S$. Aquí, se llevó a $S$ a una relación $R\subset M^n$, y aún más requeridos $\varphi$ a ser de la forma $\exists x \psi (y_1,...,y_n,x)$ para algunos de fórmula $\psi$.

En cuanto a su geometría-provability pregunta la razón en la geometría algebraica tenemos $(a_1,...,a_n)\in S$ fib $f(a_1,...,a_n)=0$ es verdad, es porque estamos arreglando algunas ambiente modelo de $k$ en el que interpretar las frases. Por el teorema de completitud, provability significa la verdad en cada modelo, por lo que un álgebra geométrica dualidad entre provability y la geometría de los medios para preguntar si $f$ tiene soluciones a través de cualquier modelo. Esta es una muy fuerte requisito, y casi nunca sucede, excepto para casos muy especiales. Usted tendrá que fijar un conjunto de axiomas para restringir lo que los modelos a considerar, y probablemente va a querer extender $f$ a cualquier tipo de fórmula que acaba de ecuaciones polinómicas.

Por ejemplo, a través de una algebraicamente cerrado de campo, un sistema de polinomios $f_1,...,f_r$ tiene una solución iff no genera la unidad ideal, (este llamado de Hilbert Nullstellensatz). La generación de la unidad ideal es equivalente a decir que son consistentes en el sentido de la lógica en el lenguaje de los anillos contiguos a la constante de símbolos para $k$ donde $k$ es su algebraicamente cerrado de campo, debido a que la generación de la unidad ideal es equivalente a decir que el conjunto de fórmulas de $f_1=0,...,f_r=0$ derivar la ecuación de $1=0$.

BTW: La noción de un definibles por el conjunto en general es una idea muy importante en el modelo de la teoría, y hay trabajos destinados a la describa específicamente el definibles conjuntos de teorías específicas. Por ejemplo, el resultado que algebraicamente cerrado campos de eliminación de cuantificadores significa que cada definibles por el conjunto generado por un número finito de aplicación de los sindicatos, complementa e intersecciones (es decir, definible = construible). Relacionado con la noción de un definibles por el conjunto es un 'tipo parcial'. Si un conjunto es definible, entonces no es una fórmula, o si se relaja la definición, un conjunto de fórmulas que cortar en 'afín espacio' $M^n$. Por otro lado, un tipo parcial $\Sigma$ es una constante y deductivamente conjunto cerrado de las sentencias. Tipos parciales son llamados así porque son el modelo teórico de las versiones de construcciones tales como ideales en el anillo de la teoría o de Dedekind recortes que describen un "ideal", elemento o tipo de elemento que puede no existir, pero debe existir en algunas ajuste ampliado, por ejemplo, el límite de una secuencia de Cauchy o un número perfecto (que para poner en los premios Emmy Noether original de las palabras es) que es el "máximo común divisor" de que el sistema de elementos de generación de la ideal.

Para algunos la exposición de los conceptos elementales relacionados con esto, usted puede disfrutar de una exposición de papel http://math.uchicago.edu/~mayo/REUDOCS/Zhang,Víctor.pdf. Definitivamente creo que el modelo de la teoría es el objeto de estudio si usted desea pensar al respecto de esto.