Es ' $10$ ¿Es un número mágico o me estoy perdiendo algo?

Question

Es un chiste divertidísimo que señala cómo cada base es ' $10$ ' en su base. Como,

\begin{align} 2 &= 10\ \text{(base 2)} \\ 8 &= 10\ \text{(base 8)} \end{align}

Mi pregunta es si quien inventó el sistema decimal hubiera elegido $9$ números o $11$ o lo que sea, ¿seguiría siendo aplicable? Estoy confundido - ¿Es $10$ un número especial que habíamos elegido hace varios siglos o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Respuesta corta: tu confusión sobre si la decena es especial puede venir de leer en voz alta "Toda base es la base 10" como "Toda base es la base diez" - esto es incorrecto; no toda base es la base diez, sólo la base diez es la base diez. Es un chiste que funciona mejor por escrito. Si quieres leerlo en voz alta, debes leerlo como "Toda base es base uno-cero".

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Hay que distinguir entre números y representaciones. Un montón de piedras tiene un número determinado de piedras; este número no depende de la base que se utilice. Una representación es una cadena de símbolos, como "10", y depende de la base. En la viñeta hay "cuatro" rocas, sea cual sea la base. (Bueno, el palabra "cuatro" puede variar según el idioma, pero el número es el mismo). Pero la representación de este número "cuatro" puede ser "4" o "10" u "11" o "100" dependiendo de la base que se utilice.

El número "diez" -el número de puntos en ".........."- no es matemáticamente especial. En diferentes bases tiene diferentes representaciones: en base diez es "10", en base seis es "14", etc.

La representación "10" (un cero) es especial: cualquiera que sea su base, esta representación denota ese número. Para la base $b$ la representación "10" significa $1\times b + 0 = b$ .

Si tenemos en cuenta la base diez que usamos normalmente, entonces "diez" es por definición la base de esta representación particular, por lo que es en ese sentido "especial" para esta representación. Pero esto es sólo un artefacto de la representación de base diez. Si utilizáramos la representación de base seis, entonces la representación "10" correspondería al número seis, por lo que el seis sería especial en ese sentido, para esa representación.

Answer 2

La magia del número 10 proviene del hecho de que el "1" es la unidad multiplicativa y el "0" es la unidad aditiva. El primer número de dos cifras en notación posicional es siempre 10 y también denota siempre el número de dígitos.

Answer 3

Sí, diez ( ..... ..... ) es un número especial. No es mágico, sino especial porque es una base muy conveniente para las especies que tienen diez dedos.

Podría decirse que podemos utilizar las manos y los dedos para codificar 1024 números utilizando el sistema binario, pero eso sería menos robusto a través de las direcciones de lectura y algunas configuraciones/gestos son fisiológicamente difíciles de hacer.

Answer 4

Tu cómic no habla del número diez, sino de la cadena "10" (léase como "uno-cero", no "diez") . "10" ("uno-cero") sólo representa el entero diez en base-diez. En otras bases, "10" representa un número diferente.

En base nueve, la cadena "10" representaría el entero nueve (diez sería "11").

Del mismo modo, en base once, "10" representaría once (la decena se representaría con un nuevo símbolo, tradicionalmente la "A") .

El punto del cómic es el hecho de que la cadena "10" en base- n siempre representa n . No hay nada más profundo que eso.

Answer 5

No acepto su concepto de "1-0" como un número.

El 1-0 que estás utilizando es una notación que se utiliza en diferentes números. Así, por muy especial que sea el número 10decimal, la notación 1-0 no es un número especial.

Para mí, es una notación especial.

1-0 is the notation for the number 10decimal.
1-0 is the notation for the number 2binary
1-0 is the notation for the number 8octal
1-0 is the notation for the number 12radix12
1-0 is the notation for the number 13radix13
1-0 is the notation for the number 14radix14
1-0 is the notation for the number 15radix15
1-0 is the notation for the number 16hexadec

Así, llamar al número 10dec un número especial porque la notación 1-0 es especial sería como expresar la correlación

cows eat corn. cows are stupid.
Mary eats corn. And therefore, Mary is stupid.

Sin embargo, se podría decir que la notación 1-0 denota un número que es especial dentro de cada radix. Es decir, que cada número es un número especial en el conjunto de todos los sistemas radicales.

• Existen innumerables sistemas radicales.
• Hay innumerables números.
• Un sistema radix se denota por radix(n)
• donde n es un número especial dentro del conjunto de números en radix(n) porque se denota con la notación 1-0radix(n)
• Por lo tanto, cada número es un número especial dentro del radix denotado por ese número.
• También es especial la notación 1-0-0, al igual que la notación 1-0-0-.......-0

La notación 1-9 es también una notación especial, para todos los sistemas de radix superiores a radix(8), porque significa la ocasión especial en que el número muta de 1-8 a 1-9 o de 1-A a 1-9

De hecho, cada notación miembro de los conjuntos de todas las notaciones posibles es especial, en virtud de que esa notación significa una transición de un valor menor a un valor mayor, y viceversa.

La notación A es también una notación especial, para todos los sistemas de radios mayores que radix(9). Porque significa la transición de una procesión de dígitos numéricos a una procesión alfabética.

Por lo tanto, el número 10dec es efectivamente un número especial no por la virtud de la notación 1-0, sino por la virtud de la notación A. Porque para todos los sistemas de radix mayores que radix(10), el valor 10dec se denota siempre por la notación especial A. Donde A es especial porque es una consecuencia del final de la procesión de dígitos numéricos en uno alfabético.

Eso es como si todos los padres del mundo dijeran "Mi hijo es especial".