Demostrar que $n$ es también un poder de $2$.

Question

Una progresión aritmética se compone de los números enteros. La suma de los primeros a $n$ términos de esta progresión es una potencia de dos.

Demostrar que $n$ también es una potencia de dos.

Fuente :http://www.math.ucla.edu/~radko/círculos/lib/datos/Hoja-967-1026.pdf

Answer 1

Dada primer término $a$ y la diferencia común $d$, la suma de los primeros a $n$ términos, $S_n$ está dado por $$S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$$ Deje $S_n=2^k$ donde $k\in\mathbb Z$. Debemos tener $k\ge 0$ como la progresión aritmética consiste de los números enteros. $$2^k=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$$ $$2^{k+1}=n\left(2a+(n-1)d\right)\in\mathbb Z^+$$

Como la descomposición en factores primos de un número entero es único, $n$ debe ser de la forma $2^r$ donde $r\ge0$. Por lo tanto, $n$ debe ser una potencia de $2$.

Answer 2

La suma de una progresión aritmética es igual al número de términos veces un número entero o de medio entero. Si el doble de la suma es una potencia de dos, entonces ambos factores son de una potencia de dos.

Answer 3

Ver que la suma de los primeros a $n$ condiciones es$s = \frac{n * (a_{1} + a_{n})}{2} = 2^{k}(say)$$k \in \mathbb{Z}$ , ahora ambos $a_{1},a_{n}$ son enteros significa que $n$ debe ser una potencia de $2$.

Answer 4

$$S_n=\frac{n}{2}\left(a + a_n\right) = 2^k$$ $$\log_2 (S_n)=\log_2(n) + \log_2(a+a_n) = {k+1}$$ Desde $k+1$ es un número entero, $\log_2(n)$ debe ser un entero. Por lo tanto, $n$ es una potencia de $2$.