¿Cuál es la probabilidad de que $250$ los dígitos aleatorios contienen $7777$ , $8888$ y $9999$ ?

Question

En primer lugar, cómo he llegado a un número que tiene la propiedad de que el primer $250$ los dígitos después del punto decimal contienen $7777$ , $8888$ y $9999$

Quería construir un número que se pueda demostrar que es trascendental utilizando la medida de irracionalidad

http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

Considere la secuencia $$a_1=0\ ,\ a_2=1\ ,\ a_n=a_{n-1}^2+a_{n-2}\ for \ n>2$$

Entonces, los denominadores de los convergentes de la fracción continua simple $$x:=[a_1,a_2,a_3,\cdots]$$ satisfacer $q_n=a_{n+1}$ (lo que puede demostrarse por inducción) , por lo que $x$ debe ser trascendental por $$\frac{\ln(q_{n+1})}{\ln(q_n)}>2$$ para $n>2$

La primera $250$ dígitos de $x$ después del punto decimal contienen las combinaciones $7777$ , $9999$ y $8888$ (en este orden), lo que me parece inusual. Me gustaría saber qué tan inusual es :

¿Cuál es la probabilidad de que una cadena de $250$ dígitos aleatorios contiene las combinaciones $7777$ , $8888$ y $9999$ ?

Answer 1

Cuatro números seguidos significa que tres números seguidos son iguales al anterior. Las probabilidades en un punto son de una en 1000. Así que se espera que ocurra en un número de 250 dígitos una de cada cuatro veces (250/1000).
Creo que las probabilidades de que ocurra tres veces son $e^{-\lambda}\lambda^3/6$ , donde $\lambda=1/4$ . Eso es 0,002, o una posibilidad entre 493.

Para los 9, haz una prueba: Elige 500 dígitos al azar y anota la frecuencia con la que aparece el dígito más común. Tu software probablemente tenga un comando de histograma para hacer el recuento por ti. Hazlo diez veces y luego juzga la probabilidad de obtener 71 de 500.

Dado que hay 71 nueves en el número de 500 dígitos, eso hace que los 99 sean mucho más probables. En ese caso, no creo que doce sea improbable.

Answer 2

Para responder a su pregunta con precisión, podemos crear cuarenta y cuatro funciones diferentes, cada una de las cuales representa "cuántas maneras hay de crear un $n$ -cadena de dígitos tal que ..."; afortunadamente, para cada una de estas funciones $F_i$ , $F_i(n+1)$ es una combinación lineal de los valores $F_j(n)$ Así que podemos representar toda la pizarra de funciones como una matriz, luego llevar la matriz a la potencia 250, y leer la respuesta.

Así que, en primer lugar, las funciones. Vamos a asignar algunos nombres:

$a_0(n)$ representará $n$ -cadenas de dígitos que no contengan ninguno de los números "7777", "8888" o "9999" que no terminen en "7", "8" o "9"
$b_0(n)$ representará $n$ -cadenas de dígitos que contienen "7777" pero no "8888", o "9999" que no terminan en "8" o "9"
$c_0(n)$ representará $n$ -cadenas de dígitos que contengan "8888" pero no "7777" o "9999" que no terminen en "7" o "9"
$d_0(n)$ representará $n$ -cadenas de dígitos que contengan "9999" pero no "7777" u "8888" que no terminen en "7" u "8"
$e_0(n)$ representará $n$ -cadenas de dígitos que contienen "7777" y "8888" pero no "9999" que no terminan en "9"
$f_0(n)$ representará $n$ -cadenas de dígitos que contienen "8888" y "9999" pero no "7777" que no terminan en "7"
$g_0(n)$ representará $n$ -cadenas de dígitos que contienen "7777" y "9999" pero no "8888" que no terminan en "8"
$h_0(n)$ representará $n$ -cadenas de dígitos que contienen los tres "7777", "8888" y "9999"

Para cada función $x_0$ , defina $x_7$ para ser el número de cadenas que terminan en "7" pero no en "77" y que cumplirían los requisitos de estar en $x_0$ si el "7" final fuera sustituido por un "0". Del mismo modo, defina $x_{77}, x_{777}, x_8, x_{88}, x_{888}, x_9, x_{99}, x_{999}$ .

Las cuarenta y cuatro funciones que necesitamos entonces son:

$$ a_0, a_7, a_{77}, a_{777}, a_8, a_{88}, a_{888}, a_9, a_{99}, a_{999} \\ b_0, b_8, b_{88}, b_{888}, b_9, b_{99}, b_{999} \\ c_0, c_7, c_{77}, c_{777}, c_9, c_{99}, c_{999} \\ d_0, d_7, d_{77}, d_{777}, d_8, d_{88}, d_{888} \\ e_0, e_9, e_{99}, e_{999} \\ f_0, f_7, f_{77}, f_{777} \\ g_0, g_8, g_{88}, g_{888} \\ h_0 $$

Tenga en cuenta que $a_0(0) = 1$ pero que todas las demás funciones son 0 para $n=0$ .

A continuación, calculamos las recurrencias, que son bastante sencillas, por lo que no voy a explicar mi razonamiento (aunque deberías comprobar mi trabajo porque también es tolerablemente tedioso y fácil de cometer un error)

\begin{align} a_0(n+1) &= 7a_0(n) + 7a_7(n) + 7a_{77}(n) + 7a_{777}(n) + 7a_8(n) + 7a_{88}(n) + 7 a_{888}(n) + 7 a_9(n) + 7 a_{99}(n) + 7 a_{999}(n) \\ a_7(n+1) &= a_0(n) + a_8(n) + a_{88}(n) + a_{888}(n) + a_9(n) + a_{99}(n) + a_{999}(n) \\ a_{77}(n+1) &= a_7(n) \\ a_{777}(n+1) &= a_{77}(n) \\ a_8(n+1) &= a_0(n) + a_7(n) + a_{77}(n) + a_{777}(n) + a_9(n) + a_{99}(n) + a_{999}(n) \\ a_{88}(n+1) &= a_8(n) \\ a_{888}(n+1) &= a_{88}(n) \\ a_9(n+1) &= a_0(n) + a_7(n) + a_{77}(n) + a_{777}(n) + a_8(n) + a_{88}(n) + a_{888}(n) \\ a_{99}(n+1) &= a_9(n) \\ a_{999}(n+1) &= a_{99}(n) \\ \end{align}

\begin{align} b_0(n+1) &= a_{777}(n) + 8b_0(n) + 8b_8(n) + 8b_{88}(n) + 8b_{888}(n) + 8b_9(n) + 8b_{99}(n) + 8b_{999}(n) \\ b_8(n+1) &= b_0(n) + b_9(n) + b_{99}(n) + b_{999}(n) \\ b_{88}(n+1) &= b_8(n) \\ b_{888}(n+1) &= b_{88}(n) \\ b_9(n+1) &= b_0(n) + b_8(n) + b_{88}(n) + b_{888}(n) \\ b_{99}(n+1) &= b_9(n) \\ b_{999}(n+1) &= b_{99}(n) \\ \end{align}

\begin{align} e_0(n+1) &= b_{888}(n) + c_{777}(n) + 9e_0{n} + 9e_{9}(n) + 9e_{99}(n) + 9e_{999}(n) \\ e_9(n+1) &= e_0(n) \\ e_{99}(n+1) &= e_9(n) \\ e_{999}(n+1) &= e_{99}(n) \end{align}

\begin{align} h_0(n+1) &= e_{999}(n) + f_{777}(n) + g_{888}(n) + 10 h_0(n) \end{align}

Y lo mismo para las demás funciones. (Me he cansado de escribir $\LaTeX$ )

Combinando esto en una matriz gigante se obtiene:

\begin{bmatrix} 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 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& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 9 & 9 & 9 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 10 \end{bmatrix}

Enchúfalo en tu CAS favorito, súbelo a la 250ª potencia y luego toma la entrada en la esquina inferior izquierda. Ese es el número de cadenas que se ajustan a tus criterios.

(el CAS que mejor conozco es Mathematica pero desafortunadamente ya no tengo una licencia local y las licencias gratuitas disponibles para Wolfram Cloud no incluyen suficiente tiempo de computación para terminar esto)

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EDIT: Estaba introduciendo mal la matriz en Wolfram (me encantan esos caracteres de control ocultos). Cuando la introduje directamente, obtuve el resultado de 245 dígitos:

98170447140570291841036643727248100210336162740967176860147709972660555975116916441369583687402322170651107248986895791560801830664164915952696011514631109478105152889332791827305325485400231794457444406335869180096544160081677017091458802473248

Así que la probabilidad es $\approx 9.817 \times 10^{-6}$