Un problema a partir de un concurso de matemáticas acerca de potencias de dos

Question

Recientemente he participado en un concurso de matemáticas. Una de las tareas que realmente me atrajo, pero todavía no puedo encontrar la solución de la misma. Tal vez usted me puede ayudar?

Problema:

Dado un número natural a, que consta de 20 dígitos. Alguien escribió que el número de AA...UN(101 veces) y se retira de sus 11 últimos dígitos. Cómo puedo probar que este número, que consta de 2009 dígitos no es una potencia de dos?

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que en lugar de la eliminación de la última $11$ dígitos, se podría quitar la primera $11$ dígitos - este cambio corresponde a permuting los dígitos de $A$. Por ejemplo, si $A=11223344556677889900$, el número entero se verá como $$\underbrace{11223344556677889900}_{\text{repetido 100 veces}} \,112233445$$ que bien podría ser escrito como $$112233445\,\underbrace{56677889900112233445}_{\text{repetido 100 veces}}$$

(Usted puede preocuparse de que esto no es del todo cierto si $A$ $0$ en el lugar equivocado en su expansión decimal, pero en realidad nuestra prueba en el trabajo, independientemente de si $A$ es "realmente" a $20$número de un dígito o un menor número distinto de cero se rellenan con ceros a la izquierda.)

Esto significa que nuestro número es:

$$10^{2000} * \text{a $9$-digit number} + \underbrace{AA\dots A}_{100\text{ times}}$$

El primer término de esta suma es múltiplo de $2^{2000}$. Así que si la suma total es de ser un poder de $2$ el segundo término también debe ser un múltiplo de $2^{2000}$ (ya que toda la suma sería de $2^{\text{something a lot bigger than 2000}}$).

Pero $$\underbrace{AA\dots A}_{100\text{ momentos}}=A * (1\underbrace{\underbrace{00\dots0}_{19\text{ momentos}}1\underbrace{00\dots0}_{19\text{ momentos}}\dots\underbrace{00\dots0}_{19\text{ momentos}}1}_{\text{99}})$$ que es $A$ veces un número impar. Tenga en cuenta que $A$ es en la mayoría de las $20$-dígitos de número y $2^{2000}$ tiene un montón más de $20$ dígitos. Por lo $A$ no puede ser un múltiplo de $2^{2000}$, lo que significa que $A$ multiplicado por un número impar no puede ser un múltiplo de $2^{2000}$ - es decir, el total de la suma no es un múltiplo de a $2^{2000}$ y, por tanto, no es un poder de $2$.

Answer 2

Básicamente, tratar de encontrar una potencia de dos que los rendimientos de 2009 dígitos. Esto se hace con los logaritmos de la siguiente manera:

$log_{10}{2^x} = 2009$ que los rendimientos de $x=6673.7535$ $2^{6673}$ $2009$ dígitos, $2^{6672}$ $2^{6671}$ han $2009$ dígitos. Pero no hemos terminado.

Ahora tenemos que demostrar que el número no es una de las mencionadas facultades de $2$. La única manera es que $A$ es también un poder de $2$ e ha $20$ dígitos así. La última potencia de $2$ que ha $20$ dígitos es $2^{66}$, pero, sorprendentemente, $(2^{66})^{101}$ $2007$ dígitos por lo que si restamos $11$ dígitos a partir de ella se han $1996$ dígitos.