Hay un error conceptual en la OP.
Tenga en cuenta que si $w=z(1-z)$, entonces la condición de $\arg(w)\in[0,2\pi)$ restringe el dominio de la compleja $z$ plano a la mitad de espacio.
Para ver esto, escribimos $z=|z|e^{i\arg(z)}$$1-z=|1-z|e^{i\arg(1-z)}$, de modo que $w=|z||1-z|e^{i\left(\arg(z)+\arg(1-z)\right)}$.
En cuanto a $\arg(z)+\arg(1-z)$ abarca un rango de $4\pi$ en el complejo de $z$-plano, a continuación, $\arg(w)$ lo hace igualmente.
Para abordar las preocupaciones en la OP en detalle, comenzamos con una breve introducción.
IMPRIMACIÓN:
El complejo logaritmo $\log(z)$ está definido por $z\ne 0$
$$\log(z)=\log(|z|)+i\arg(z) \tag 1$$
Es fácil demostrar que el complejo logaritmo satisface
$$\log(z_1z_2)=\log(z_1)+\log(z_2) \tag 2$$
lo que significa que cualquier valor de $\log(z_1z_2)$ puede ser expresado como la suma de un cierto valor de $\log(z_1)$ y un cierto valor de $\log(z_2)$.
A ver que $(2)$ es cierto que, simplemente, nos tenga en cuenta que$\log(|z_1||z_2|)=\log(|z_1|)+\log(z_2)$$\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)$.
NOTA: La relación en $(2)$ no está satisfecho en general cuando el logaritmo es restringido en, digamos, el director de la sucursal para que $\arg(z)=\text{Arg}(z)$ donde $-\pi<\text{Arg}\le \pi$.
El uso de $(2)$, podemos escribir para $z\ne0$, $z\ne 1$
$$\begin{align}
f(z)&=\sqrt{z(1-z)}\\\\
&=e^{\frac12 \log(z(1-z))}\\\\
&=e^{\frac12 \left(\log(z)+\log(1-z)\right)}\\\\
&=e^{\frac12\log(z)}e^{\frac12\log(1-z)}\\\\
&=\sqrt{z}\sqrt{1-z}
\end{align}$$
LA SELECCIÓN DE UNA RAMA DE $\displaystyle \sqrt{z(1-z)}$
Para obtener una rama específica de la $\sqrt{z(1-z)}$, podemos utilizar una rama de $\sqrt{z}$ y otra rama de $\sqrt{1-z}$.
Si seleccionamos las ramas de $\sqrt{z}$ $\sqrt{1-z}$ a ser tal que $-\pi<\arg(z)\le \pi$$0<\arg(1-z)\le 2\pi$, luego la rama de $\sqrt{z(1-z)}$ es tal que
$$\sqrt{z(1-z)}=\sqrt{|z||1-z|}e^{i\frac12 (\arg(z)+\arg(1-z))}$$
con $-\pi<\arg(z)+\arg(1-z)\le 3\pi$.
Con esta elección, es sencillo demostrar que $\sqrt{z(1-z)}$ es analítica en $\mathbb{C}\setminus [0,1]$.
LA EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL
Entonces, podemos escribir
$$\begin{align}
\oint_C \sqrt{z(1-z)}\,dz&=\int_0^1 \sqrt{x(1-x)}e^{i(0+2\pi)}\,dx+\int_1^0\sqrt{x(1-x)}e^{i(0+0)}\,dx\\\\
&=-2\int_0^1 \sqrt{x(1-x)}\,dx \tag 3
\end{align}$$
NOTA: Nos omite la consideración de las contribuciones a la integral de la circular deformaciones alrededor de los puntos de ramificación ya que sus contribuciones vansish en el límite como los radios va a cero.
El uso de Cauchy de la Integral Teorema, el valor de la integral de la $\oint_C \sqrt{z(1-z)}\,dz$ es modificado por la deformación de $C$ en un contorno circular, con centro en el origen, de radio, $R>1$. Por lo tanto, la explotación de la analiticidad de $\sqrt{z(1-z)}$$R>1$, tenemos
$$\begin{align}
\oint_C \sqrt{z(1-z)}\,dz&=\oint_{R>1}\sqrt{z(1-z)}\,dz\\\\
&=\int_{-\pi}^{\pi}\sqrt{Re^{i\phi}(1-Re^{i\phi})}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\\\\
&=\int_{-\pi}^{\pi}\sqrt{Re^{i\phi}(1-Re^{i\phi})}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\\\\
&=\int_{-\pi}^{\pi} \left(iRe^{i\phi}\right)^2 \left(1-\frac{1}{Re^{i\phi}}\right)^{1/2}\,d\phi\\\\
&=\int_{-\pi}^{\pi} \left(iRe^{i\phi}\right)^2 \left(1-\frac{1/2}{Re^{i\phi}}-\frac{1/8}{(Re^{i\phi})^2}-\frac{1/16}{(Re^{i\phi})^3}+O\left(\frac1{(Re^{i\phi})^4}\right)\right)\,d\phi\\\\
&\to -\frac{\pi}{4}\,\,\text{as}\,\,R\to \infty \tag 4
\end{align}$$
Finalmente, armando $(3)$ $(4)$ rendimientos
$$\int_0^1 \sqrt{x(1-x)}\,dx=\frac{\pi}{8}$$
como era de esperar.
NOTA: La expansión que lleva a $(4)$ es correcto dado el elegido ramas de $\sqrt{z}$$\sqrt{1-z}$. A continuación,
$$\begin{align}
\sqrt{z(1-z)}&=\sqrt{-z^2\left(1-\frac1z\right)}\\\\
&=e^{\frac12\log(-z^2)+\frac12\log\left(1-\frac1z\right)}\\\\
&=iz \sqrt{1-\frac1z}
\end{align}$$
donde se utilizó $\log(-1)=i\pi$$\log(z^2)=2\log(z)$. Luego, en el aumento del $\sqrt{1-\frac1z}$ en su Laurent de la serie en el espacio anular $1<z<\infty$, y el establecimiento $z=Re^{i\phi}$, obtenemos la expansión que se usa para llegar a $(4)$.
Considere la integral
