La extensión de $L/K$ específicas de descomposición propiedades

Question

Encontrar una extensión $L/K$ de los campos de número con grupo de Galois $G$ y los respectivos anillos de enteros $O_L$ $O_K$ para cada uno de los siguientes requisitos:

1. La descomposición de grupo $G_q$ de algunos de los mejores ideales $q$ $O_L$ $p = q \cap O_K$ no es un subgrupo normal de $G$.

2. $G=I_q\times I_{q'}$ es el producto directo de dos trivial inercia subgrupos $I_q$ $I_{q'}$ donde $q, q'$ son los principales ideales de la $O_L$

3. La inercia del grupo de $I_q$ no es cíclica para un alojamiento ideal $q$$O_L$.

Los únicos ejemplos que saber cómo trabajar con el (como $\mathbb{Q}(i)$, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ o simple cyclotomic extensiones) el apperently no son suficientes para este ejercicio. ¿Hay alguna estrategia para encontrar estos ejemplos?

Answer 1

Para (1), vamos a $ L/\mathbf Q $ ser la división de campo de la $ X^5 - 4X + 2 $$ \mathbf Q $. Esto tiene grupo de Galois $ S_5 $, y dejando $ K = \mathbf Q(\alpha) $ donde $ \alpha $ es una raíz de $ X^5 - 4X + 2 $, el primer $ 13 $ factores $ 13 = \mathfrak p \mathfrak q \mathfrak r $$ K $. Desde $ 13 $ no está completamente dividida en $ K/\mathbf Q $, no está completamente dividida en $ L/\mathbf Q $; y por lo tanto se deduce que dejar a $ g $ ser el número de los distintos números primos de $ L $ se encuentra por encima del $ 13 $,$ 3 \leq g < 120 $. Tenemos $ 120 = efg $ donde $ ef $ es el orden de la descomposición de grupo de cualquier primer mentir sobre $ 13 $, y de ello se sigue que $ 1 < ef \leq 40 $. Sin embargo, la única que no sea trivial normal subgrupo de $ S_5 $$ A_5 $, que tiene orden de $ 60 $. De ello se desprende que la descomposición de grupo no puede ser normal.

Para (2), vamos a $ L = \mathbf Q(\sqrt{3}, \sqrt{5}) $. Compruebe que $ 3 = (\sqrt{3})^2 $ $ 5 = (\sqrt{5})^2 $ son de primer factorizations en $ L/\mathbf Q $, y que la inercia de los grupos de $ \sqrt 5 $ $ \sqrt 3 $ se cruzan trivialmente, a la conclusión.

Para (3), vamos a $ L = \mathbf Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) $. Mostrar que $ L/\mathbf Q $ es totalmente ramificado en$ 2 $,$ \textrm{Gal}(L/\mathbf Q) \cong C_2 \times C_2 $, que no es cíclico; la conclusión.