La extensión de $L/K$ específicas de descomposición propiedades

Question

Encontrar una extensión $L/K$ de los campos de número con grupo de Galois $G$ y los respectivos anillos de enteros $O_L$ $O_K$ para cada uno de los siguientes requisitos:

1. La descomposición de grupo $G_q$ de algunos de los mejores ideales $q$ $O_L$ $p = q \cap O_K$ no es un subgrupo normal de $G$.

2. $G=I_q\times I_{q'}$ es el producto directo de dos trivial inercia subgrupos $I_q$ $I_{q'}$ donde $q, q'$ son los principales ideales de la $O_L$

3. La inercia del grupo de $I_q$ no es cíclica para un alojamiento ideal $q$$O_L$.

Los únicos ejemplos que saber cómo trabajar con el (como $\mathbb{Q}(i)$, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ o simple cyclotomic extensiones) el apperently no son suficientes para este ejercicio. ¿Hay alguna estrategia para encontrar estos ejemplos?

Answer 1

Para (1), vamos a $L/\mathbf Q$ ser la división de campo de la $X^5 - 4X + 2$$\mathbf Q$. Esto tiene grupo de Galois $S_5$, y dejando $K = \mathbf Q(\alpha)$ donde $\alpha$ es una raíz de $X^5 - 4X + 2$, el primer $13$ factores $13 = \mathfrak p \mathfrak q \mathfrak r$$K$. Desde $13$ no está completamente dividida en $K/\mathbf Q$, no está completamente dividida en $L/\mathbf Q$; y por lo tanto se deduce que dejar a $g$ ser el número de los distintos números primos de $L$ se encuentra por encima del $13$,$3 \leq g < 120$. Tenemos $120 = efg$ donde $ef$ es el orden de la descomposición de grupo de cualquier primer mentir sobre $13$, y de ello se sigue que $1 < ef \leq 40$. Sin embargo, la única que no sea trivial normal subgrupo de $S_5$$A_5$, que tiene orden de $60$. De ello se desprende que la descomposición de grupo no puede ser normal.

Para (2), vamos a $L = \mathbf Q(\sqrt{3}, \sqrt{5})$. Compruebe que $3 = (\sqrt{3})^2$ $5 = (\sqrt{5})^2$ son de primer factorizations en $L/\mathbf Q$, y que la inercia de los grupos de $\sqrt 5$ $\sqrt 3$ se cruzan trivialmente, a la conclusión.

Para (3), vamos a $L = \mathbf Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$. Mostrar que $L/\mathbf Q$ es totalmente ramificado en$2$,$\textrm{Gal}(L/\mathbf Q) \cong C_2 \times C_2$, que no es cíclico; la conclusión.