Un reto de R. P. Feynman: dar teoremas contraintuitivos que puedan traducirse al lenguaje cotidiano

Question

La siguiente es una cita de Seguramente está bromeando, Sr. Feynman . La pregunta es: ¿hay algún teorema interesante que creas que sería un buen ejemplo para decirle a Richard Feynman, como respuesta a su reto? Los teoremas deben ser totalmente contraintuitivos, y ser fácilmente traducibles al lenguaje cotidiano. (Al parecer, la paradoja de Banach-Tarski no era un buen ejemplo).

Entonces se me ocurrió una idea. Les desafié a ellos: "Apuesto a que no hay un solo teorema que me puedas decir - que las suposiciones y cuál es el teorema en términos que pueda entender en el que no pueda decirte de inmediato si es verdadero o falso".

A menudo era así: Ellos explicaban me explicaban: "Tienes una naranja, ¿BIEN? Ahora corta la naranja en una número finito de trozos, la vuelves a juntar juntos, y es tan grande como el sol. ¿Verdadero o falso?"

"Sin agujeros".

"¡Imposible!

"¡Ja! ¡Que todo el mundo se reúna! Es el Teorema de la medida inconmensurable de Fulano de Tal medida!"

Justo cuando creen que tienen me han pillado, les recuerdo: "¡Pero si has dicho una ¡naranja! No puedes cortar la piel de la naranja más fina que los átomos".

"Pero tenemos la condición de continuidad: Podemos seguir cortando".

"No, dijiste una naranja, así que asumí asumí que te referías a una naranja de verdad".

Así que siempre ganaba. Si lo adivinaba bien, genial. Si lo adivinaba mal, siempre había algo que podía encontrar en su simplificación que ellos omitido.

Answer 1

Toda curva cerrada simple que puedas dibujar a mano pasará por las esquinas de algún cuadrado. La pregunta fue formulada por Toeplitz en 1911, y sólo ha sido respondida parcialmente en 1989 por Stromquist. Hasta ahora, sólo se sabe que la respuesta es positiva, para las curvas que se pueden dibujar a mano. (es decir, las curvas que son a trozos la gráfica de una función continua)

El resultado me parece superior a mi intuición.

Para más detalles, consulte http://www.webpages.uidaho.edu/~markn/squares/ (la cifra también está tomada de este sitio)

Answer 2

Mi favorito sería probablemente el teorema de Goodstein:

Empieza con tu número favorito (el mío es $37$ ) y expresarlo en la base hereditaria $2$ notación. Es decir, escribirlo como una potencia de $2$ con potencias de exponentes de $2$ etc.

Así que, $37 = 2^{(2^2 + 1)} + 2^2 + 1$ . Este es el primer elemento de la secuencia.

A continuación, cambie todos los $2$ 's a $3$ 's, y restar uno de lo que queda y expresar en base hereditaria $3$ notación.

Obtenemos $3^{(3^3 + 1)} + 3^3 + 1 - 1= 3^{(3^3 + 1)} + 3^3$ (que es aproximadamente $2 \times 10^{13}$ ). Este es el segundo elemento de la secuencia.

A continuación, cambie todos los $3$ 's a $4$ 's, restar uno, y expresar en base hereditaria $4$ notación.

Obtenemos $4^{(4^4 + 1)} + 4^4 - 1 = 4^{(4^4 + 1)} + 3*4^3 + 3*4^2 + 3*4 + 3$ (que es aproximadamente $5 \times 10^{154}$ ) . Este es el tercer elemento de la secuencia.

Aclarar, repetir: en el $n^{th}$ cambiar todos los " $n+1$ " a " $n+2$ ", restar $1$ y se reexpresa en la base hereditaria $n+2$ notación.

El teorema es: no importa el número con el que empieces, eventualmente, tu secuencia llega a 0, a pesar de que crece MUY rápido al principio.

Por ejemplo, si en lugar de empezar con $37$ Empezamos con $4$ Entonces (según la página de la wikipedia), se necesita $3*2^{(402653211)} - 2$ pasos ( MUY aproximadamente $10^{(100,000,000)}$ o un $1$ seguido de cien millones $0$ s). $37$ tarda mucho más en bajar a $0$ .

Answer 3

Suponga que tiene una gran colección de libros, todos del mismo tamaño. Coloca uno de ellos en el borde de una mesa para que uno de los extremos del libro esté lo más lejos posible de la mesa. Equilibra otro libro encima de ese, y de nuevo intenta alejarte lo máximo posible de la mesa. Tome $n$ de ellos y tratar de equilibrarlos uno encima del otro de manera que el libro superior esté lo más alejado posible del borde de la mesa en sentido horizontal.

Teorema: Con suficientes libros, puedes alejarte arbitrariamente de la mesa. Si estás realmente cuidadoso. Esto es una consecuencia de la divergencia de la serie armónica. Creo que si no has oído esto antes es muy difícil saber si es cierto o falso.

Answer 4

El El problema de Monty Hall encaja bastante bien. Casi todo el mundo, incluyendo la mayoría de los matemáticos, respondió mal en su primer intento, y algunos necesitaron mucho para convencerse de la respuesta correcta.

También es muy fácil explicarlo a la gente.

Answer 5

Tiene dos piezas idénticas de papel con la misma imagen impresa en ellos. Coloque uno de los planos sobre una mesa y el otro se estruja (sin romperlo) y colocarlo en la parte superior de la primera. Brouwer del teorema de punto fijo indica que hay algún punto en la imagen de la arrugado-hasta la página que está directamente encima del mismo punto en la parte inferior de la página. No importa cómo colocar las páginas, o la forma de deformar la parte superior.