¿Cómo evaden los radiadores isótropos coherentes el teorema de la bola peluda?

Question

El concepto de onda electromagnética esférica es una bonita ficción, a la que a veces se recurre en los libros de texto de introducción a la óptica, pero se topa con un profundo problema topológico en forma de Brouwer's teorema de la bola peluda que establece esencialmente que

si $\mathbf f:\mathbb S^2\to\mathbb R^3$ es una función continua que asigna un vector $\mathbf f(p)$ en $\mathbb R^3$ a cada punto $p$ en una esfera tal que $\mathbf f(p)$ es siempre tangente a la esfera en $p$ entonces hay al menos una $p$ tal que $\mathbf f(p) = 0$ ,

o, en otras palabras, "no se puede peinar una esfera peluda". Por lo que respecta al electromagnetismo, esto significa que una onda esférica polarizada linealmente no puede ser isótropa, porque la ley de Gauss exige que la componente de radiación sea transversal, y el teorema de la bola peluda exige entonces que tenga ceros en su distribución angular de intensidad.

El argumento habitual, por ejemplo con las estrellas y similares, es que la radiación que emiten no es coherente, lo que elude esta limitación. Sin embargo, una respuesta reciente señaló que si se relaja el requisito de que la polarización sea uniforme, es posible tener ondas esféricas coherentes con una distribución de intensidad isótropa dejándolas tomar polarizaciones elípticas o circulares en algunas direcciones, y eso es muy interesante por sí mismo. Sin embargo, no es un punto que se plantee muy a menudo, por lo que me gustaría ver formas explícitas de cómo se puede hacer.

Más concretamente, me gustaría ver soluciones exactas explícitas de las ecuaciones de Maxwell del vacío en el espacio completo menos una esfera, es decir. $\{\mathbf r\in\mathbb R^3:\|\mathbf r\|>a\}$ que son (i) monocromáticas, (ii) ondas esféricas salientes, y (iii) tienen intensidad constante sobre cada esfera centrada en el origen. Si existe una descomposición explícita de esta onda en, por ejemplo, una suma de dos polarizaciones lineales ortogonales con diferentes distribuciones de intensidad, también sería bueno verlo.

Creo que las referencias en la respuesta anterior, incluyendo este pero no me preocupa especialmente la existencia de implementaciones sencillas con antenas de hilo recto ni nada por el estilo: valoraría más las soluciones que son exactas en todas partes que las soluciones que tienen las propiedades deseadas en un sentido asintótico. Dicho esto, si existe una distribución de corriente en la propia esfera que darán exactamente las soluciones deseadas (en el sentido de esta respuesta ), entonces sí que es interesante.

Answer 1

La solución propuesta por Matzner y esbozada en la otra respuesta es sólo aproximada, no exacta. El problema es hasta qué punto es realmente una solución aproximada.

La idea original en Int. J. Antenn. Propag. 2012 , 187123 (2012) era obtener un campo con una intensidad de campo esféricamente simétrica en la región asintótica de campo lejano. Una vez conocida dicha solución, en principio es posible encontrar una distribución de corriente finita que produzca el mismo campo, y de hecho se calculó una distribución correspondiente en una cáscara esférica.

La solución de campo lejano propuesta tiene una forma separable sencilla y es la siguiente $$ \vec{E}(\vec{x}, t) = \left(-i\omega\frac{\mu_0 k}{4\pi} e^{i\omega t} \right) \frac{e^{-ikr}}{kr} \vec{A}(\theta, \phi) = C(t) \vec{E}_0(r, \theta, \phi) $$ con $$ \vec{E}_0(r, \theta, \phi) = f(kr) \vec{A}(\theta, \phi) $$ y \begin{align} A_x(\theta, \phi) & = \exp\left(-i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right)\;,\;\;\; A_y = 0\\ A_z(\theta, \phi) & = i\;\frac{\cos\phi}{\sin\theta} \left[ \exp\left(i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right) - i \cos\theta \exp\left(-i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right) \right] \end{align} Pero no es difícil ver que es sólo una solución en primer orden en $1/r$ y sólo para $k\ll1$ .

1. Se afirma que la intensidad del campo es esféricamente simétrica porque la magnitud de la componente tangencial de $\vec{A}(\theta, \phi)$ es efectivamente esféricamente simétrica, como se señala en la otra respuesta.

   Pero para las componentes cartesianas dadas la componente radial $A_r(\theta, \phi)$ es no nulo, y no esféricamente simétrico. Dice así \begin{align} A_r(\theta, \phi) & = A_x \sin\theta \cos\phi + A_y \sin\theta\sin\phi + A_z \cos\theta \\ & = \frac{\cos\phi}{\sin\theta}\left[ \exp\left(-i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right) + i\cos\theta \exp\left(i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right)\right] \\ & \neq 0 \end{align} Nota : En el documento posterior sobre Radiadores isótropos la componente radial de $\vec{E}\;$ se fija explícitamente en 0, y la intensidad se calcula de nuevo utilizando los componentes transversales.

2. El problema más acuciante tiene que ver con la forma del factor radial. Dado que $f(kr) = \exp(-ikr)/kr$ es a su vez una solución esféricamente simétrica de la ecuación de Helmholtz $$ \left(\Delta + k^2 \right)f(kr) = 0 $$ las contribuciones no triviales de $\vec{A}(\theta, \phi)$ debe cumplir $$ \frac{f(kr)}{r^2} \;{\hat L}^2 \left( A_x(\theta, \phi) \right) = 0\\\frac{f(kr)}{r^2} \;{\hat L}^2 \left( A_z(\theta, \phi) \right) = 0 $$ donde ${\hat L}^2$ no es otro que el operador de momento angular cuadrado.

   Si se lee literalmente, se trata de una ecuación de valores propios de ${\hat L}^2$ para un valor propio nulo, con la única solución exacta $\sim Y_0^0(\theta, \phi) = const$ . Así que cualquier $A_x(\theta, \phi)$ y $A_z(\theta, \phi)$ pueden ser soluciones aproximadas siempre que la presencia del $1/r^2$ hace que su contribución sea menor que algunos límites de tolerancia acordados.

3. Lo mismo ocurre con la condición de transversalidad $\nabla \cdot \vec{E} = 0$ que en coordenadas esféricas es $$ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \;E_r \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta \;E_\theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} E_\phi = 0 $$ Para la solución particular buscada aquí se convierte, después de un ligero reordenamiento, $$ k \times \Big\{ \frac{1}{(kr)^2} \frac{\partial}{\partial (kr)} \left[ (kr)^2 f(kr) \right] A_r(\theta, \phi) + \frac{f(kr)}{(kr)\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ \sin\theta \;A_\theta(\theta, \phi) \right] + \\ + \frac{f(kr)}{(kr)\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} A_\phi(\theta, \phi) \Big \} = 0 $$ El término radial da entonces $$ \frac{1}{(kr)^2} \frac{\partial}{\partial (kr)} \left[ (kr)\; \exp\left(-i\; kr\right) \right] = \frac{f(kr)}{kr} - if(kr)\;, $$ e ignorando un factor de $\exp(-ikr)/\sin\theta\;$ , $$ -\frac{ik}{(kr)}\; A_r(\theta, \phi) \sin\theta + \frac{k}{(kr)^2} \Big\{ A_r(\theta, \phi) + \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ \sin\theta \;A_\theta(\theta, \phi) \right] + \frac{\partial}{\partial \phi} A_\phi(\theta, \phi) \Big\} = 0 $$ Para que esto se cumpla exactamente, tanto el primer término como el de las grandes llaves deben desaparecer por separado (corresponden a potencias diferentes o a $(kr)$ ). Pero como esto no ocurre para la solución que nos ocupa, debemos concluir que la transversalidad sólo se cumple aproximadamente en el límite $kr\gg1$ y/o $k \rightarrow 0$ .

Entonces, ¿qué se puede hacer para obtener la deseada solución monocromática exacta con una intensidad esféricamente simétrica?

En existencia de tales soluciones cuando la polarización del campo es elíptica y varía de un punto a otro no es una idea tan nueva, véase este artículo de Transacciones IEEE sobre Antenas y Propagación , nov. 1969, 209 ( eprint ). Sin embargo, encontrar un exacto solución sigue siendo una tarea complicada.

Formalmente, equivale a resolver el campo eléctrico como una solución sin divergencia de una ecuación de Helmholtz, $$ \left(\Delta + k^2 \right) \vec{E} = 0 \;, \;\;\; \nabla \cdot \vec{E} =0 $$ con el requisito adicional de que la intensidad de campo $\vec{E}^2$ ser esféricamente simétrica.

Una estrategia estándar consiste en considerar una expansión multipolar con factores radiales escalares dados por funciones de Bessel esféricas y factores direccionales vectoriales como superposiciones lineales de armónicos esféricos. Pero entonces, al imponer la condición de intensidad esférica, aparece un avispero de coeficientes de Clebsch-Gordon. O, potencialmente, algún argumento irrep realmente ingenioso.

¿Alguien se anima?

Answer 2

Los campos que probablemente cumplan estos requisitos se indican en

H. Matzner y E. Levine. ¿Pueden los radiadores ser realmente isótropos? Int. J. Antenn. Propag. 2012 , 187123 (2012) .

El reclamo es: $$ \mathbf{E} = \frac{i\omega \mu_0}{4 \pi r} e^{i(kr-\omega t)}\mathbf{A}(\theta,\phi) $$

donde $\mathbf{A}(\theta,\phi)$ tiene componentes altitudinales y azimutales $$ A_\theta(\theta,\phi) = i \cos(\phi) e^{-i\frac{\pi}{4} \cos \theta} $$ y $$ A_\phi(\theta,\phi) = - \sin (\phi) e^{+i\frac{\pi}{4} \cos \theta} $$ respectivamente. Las condiciones (i) y (iii) de la pregunta son claras (y basándose en $ |A_\theta|^2 + |A_\phi|^2) $ aún debemos comprobar (ii)). Más adelante comprobaré si realmente se cumple la ecuación de onda.

Answer 3

¿Cómo evaden los radiadores isótropos coherentes el teorema de la bola peluda?

Al tener una topología toroidal.

El concepto de una onda electromagnética esférica es una bonita ficción

No es una ficción.

al que a veces se recurre en los libros de texto de introducción a la óptica, pero se topa con un profundo problema topológico en forma de la teorema de la bola peluda ...

No, no es así.

o, en otras palabras, "no se puede peinar una esfera peluda".

Pero puedes peinar un toroide peludo de tal manera que no tiene un cowlick: "Un donut peludo (2-torus), en cambio, es bastante fácil de peinar".

Imagen de dominio público de The Evil Midnight Uploader, ver Wikipedia .

Por lo que respecta al electromagnetismo, esto significa que una onda esférica polarizada linealmente no puede ser isótropa, porque la ley de Gauss exige que la componente de radiación sea transversal, y el teorema de la bola peluda exige entonces que tenga ceros en su distribución angular de intensidad.

En cualquier caso, las ondas electromagnéticas están formadas por fotones. Esos fotones siguen siendo coherentes. No hay fotones que irradien hacia el exterior de forma esférica. Así que lo que preguntas es hipotético. Sin embargo, dado el escenario, el toroide soluciona el problema que planteas.

El argumento habitual, por ejemplo con las estrellas y similares, es que la radiación que emiten no es coherente, lo que elude esta limitación. Sin embargo, una respuesta reciente ha señalado que si se relaja el requisito de que la polarización sea uniforme, es posible tener ondas esféricas coherentes con una distribución de intensidad isótropa dejando que adopten polarizaciones elípticas o circulares en algunas direcciones, y eso es muy interesante por sí mismo. Sin embargo, no es un punto que se plantee muy a menudo, por lo que me gustaría ver formas explícitas de cómo se puede hacer.

Usted "infla" su toroide. Cuanto más lo infles, más esférico será. Véase Adrian Rossiter animaciones torus . O dibuja dos círculos adyacentes para representar una sección transversal a través del toroide y, a continuación, utilizando los mismos centros, dibuja círculos cada vez mayores. En el límite, los dos círculos son congruentes:

Más concretamente, me gustaría ver soluciones exactas explícitas de las ecuaciones de Maxwell del vacío en el espacio completo menos una esfera, es decir. $\{\mathbf r\in\mathbb R^3:\|\mathbf r\|>a\}$ que son (i) monocromáticas, (ii) ondas esféricas salientes y (iii) tienen intensidad constante en cada esfera centrada en el origen.

Pides demasiado. Sobre todo en lo que se refiere al punto iii. No hay partículas puntuales.

Si existe una descomposición explícita de esta onda en, por ejemplo, una suma de dos polarizaciones lineales ortogonales con diferentes distribuciones de intensidad, también sería bueno verlo.

Trabaja hacia atrás.

Creo que las referencias en la respuesta anterior, incluyendo este pero no me preocupa especialmente la existencia de implementaciones sencillas con antenas de hilo recto ni nada por el estilo: valoraría más las soluciones que son exactas en todas partes que las soluciones que tienen las propiedades deseadas en un sentido asintótico. Dicho esto, si existe una distribución de corriente en la propia esfera que darán exactamente las soluciones deseadas (en el sentido de esta respuesta ), entonces sí que es interesante.

Creo que es más interesante de lo que quizás se imagina.