¿Qué es esta serie relativa a los residuos de la función Gamma?

Question

Yo jugueteaba con la función Gamma y postes cuando me topé con la siguiente serie:

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$$

¿Alguien sabe qué es esto? Este gráfico (línea roja) parece estar muy cerca de la función Gamma (línea negra):

completa el gráfico aquí

Hay alguna forma de activar esta exactamente en la función Gamma o se derivan de la forma cerrada de la serie? Pensé acerca de la adición de $e^x$ para obtener el lado positivo de las más fijas y similares, pero también estoy interesado en una forma real de obtener este trabajo.

Answer 1

Es $f(s) = \gamma(s,1)$ la baja de la función gamma incompleta. Usted se ha separado $\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x}dx$ en $$\Gamma(s) = \int_0^1 x^{s-1} e^{-x}dx+\int_1^\infty x^{s-1} e^{-x}dx$$ where $\int_1^\infty x^{m-1} e^{-x}dx$ is entire and $\int_0^1 x^{m-1} e^{-x}dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1 x^{s+n-1}dx$ es localmente uniformemente convergente la serie de polos

(utilizando decir la de Riemann-Lebesgue lema y $\Gamma(s+1) = s \Gamma(s)$ podemos ver que $\gamma(s,1)\to 0$ al $s$ se mueve lejos de lo negativo del eje real)

Answer 2

Vamos a calcular

$$f(x+1)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(x+1+n)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!(x+n)}$$

y observar que

$$f(x+1)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}[(x+n)-x]}{n!(x+n)}=1-\frac 1e+x\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(x+n)}=1-\frac 1e+x\left(f(x)-\frac 1x\right)$$

Obtenemos :

$$\boxed{\forall x>0,\,f(x+1)=x\,f(x)-\frac 1e}$$

Esta no es la misma ecuación funcional que la verificada por $\Gamma$, pero se ve como ...

Answer 3

Esta serie difiere de $\Gamma(x)$ por una analítica de la función. Para $\Re(x)>0$, $$ \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt \\ = \int_0^1 t^{x-1} e^{-t} \, dt + \int_1^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt \\ = f(x) + \Gamma(1,x), $$ mediante la ampliación de la exponencial como una potencia de la serie y la integración término a término. $\Gamma(1,x)$ es la parte superior de la Gamma incompleta-de la función, y es una analítica de la función de $x$, mientras que su serie es la más baja Gamma incompleta la función de $\gamma(1,x)$. Meromorphic continuación implica que la igualdad derivada de arriba tiene siempre $x$ no es un valor no positivo entero: uno puede mostrar que $f(x)$ es localmente uniformemente convergente en los dominios evitando el valor no positivo de enteros, por lo que es una función de meromorphic, y el resultado de la siguiente manera.

En particular, es fácil de comprobar mediante la integración por partes que se $\Gamma(1,x)$ es exponencialmente pequeño para $x \ll 0$, por lo tanto, por el comportamiento dominante de la izquierda es capturado por $f$. Por otro lado, $f$ es mucho menor que la exponencial de un gran$\Gamma(1,x)$$x \gg 0$, lo $\Gamma(1,x)$ es dominante en el derecho.

Para obtener más información, usted también puede ver esta respuesta escribí hace un tiempo.