Separables ecuaciones diferenciales: la separación dy/dx

Question

Estoy aprendiendo acerca de la ecuación diferencial de divisibilidad. Entiendo lo que es un derivado. Una notación para la derivada es $\frac{dy}{dx}$, lo que - erróneamente - no es una fracción. Ya que no es una fracción, ¿por qué nos "separa" ecuaciones diferenciales por medio de un tratamiento como si se tratara de una fracción? Por ejemplo:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: $$\frac{dy}{dx} = y.$$

A continuación, podemos separar el... lo que son: $$\frac{dy}{y} = x\cdot dx.$$

¿Qué $dy$ $dx$ representar incluso cuando están separados unos de otros? ¿Cómo es esto válido matemáticas?

Luego integramos ambos lados de la ecuación. A pesar de que estamos integrando un lado con $dy$ y el otro lado con $dx$, la igualdad es de alguna manera por arte de magia no se rompe.

También, de alguna manera, la integración de $dy$ rendimientos $y$, pero la integración de $dx$ no aporta $x$.

Así que mi pregunta es ¿cómo hacer sentido de $dy$ $dx$ variables como están separados el uno del otro?

Answer 1

El tratamiento de la $\frac{dy}{dx}$, al igual que una fracción es, como se ha correctamente indicado, no es realmente correcto. Lo que realmente está pasando es la siguiente (para quedarse con su ejemplo): tome la ecuación diferencial

$$\frac{dy}{dx}=y(x)$$

dividiendo ambos lados por $y(x)$ (esto no es trivial paso - echa un vistazo a user21280 de la respuesta para un ejemplo de lo que puede salir mal si usted no es cuidadoso; no se centran en ella más aquí porque no creo que esta sea la cosa principal que usted está preguntando acerca de) para obtener

$$\frac{dy}{dx}\cdot\frac{1}{y(x)}= 1$$

Usando la regla de la cadena hacia atrás, podemos reescribir la LHS:

$$\frac{dy}{dx}\cdot\frac{1}{y(x)}=\frac{d}{dx}\left(\ln|y(x)|\right)$$

Conectar este, tenemos

$$\frac{d}{dx}\left(\ln|y(x)|\right) = 1$$

El próximo integramos ambos lados con respecto a $x$ obtener

$$\ln|y(x)| = x + C$$

Exponentiating y la absorción de la $\pm$ que refleja el valor absoluto en nuestra nueva constante $D$, tenemos la conocida solución

$$y(x) = De^x$$

Cuando estamos haciendo la separación de variables, esto es efectivamente lo que sucede en el fondo. El tratamiento de la $\frac{dy}{dx}$ como una fracción es una forma útil para recordar este método fácil y es mucho más fácil de escribir. También produce los resultados correctos, por lo que la gente en más aplicadas en asignaturas como la física lo hacen todo el tiempo, después de haber idealmente visto lo que hay detrás de él al menos una vez.

Creo que también se puede hacer de $\frac{dy}{dx}$ siendo el cociente de dos cantidades infinitesimales riguroso uso de formas diferenciales, pero esta es un área que no he estudiado, así que no puedo ayudarte.

Answer 2

La mayoría de las explicaciones del método de separación de variables no dejar claro que sólo funciona en una región en la cual las operaciones aritméticas son todas válidas, incluyendo la división por $y$. Este es un ejemplo donde el método no es capaz de encontrar las respuestas correctas si de todos modos realice operaciones no válidas. (Bueno, ¿qué esperabas?)

Resolver para $y$ como una función de una variable real $x$ dado que la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{y}$ mantiene.

Incluso Wolfram Alpha se equivoca. La mayoría de los estudiantes y de algunos profesores fallará para obtener el derecho, y también no identificar su error cuando dijo que ellos están equivocados, ya que arreglar el error requerirá una base adecuada en la lógica.

Sugerencia

La respuesta es no $y = (x+a)^2$, que se puede obtener por el método de separación de variables. ¿Qué salió mal? Tenga en cuenta que el error todavía estaría allí, si usted utiliza el teorema que permite el cambio de variables en una integral. Mire cuidadosamente cada deducción paso. Un paso puede ser justificado, basado en cualquier axioma. Creo que la aritmética básica. Después de llegar a eso, usted necesita para considerar los casos y el uso de la integridad axioma de reales para ampliar los intervalos abiertos sobre los cuales la solución estándar de las obras.

Solución de croquis

El campo axiomas sólo dan un inverso multiplicativo cuando no es cero. Ahora, ¿cómo resolver el problema? Dividido en los casos. Tenga en cuenta que usted necesita para trabajar en intervalos, ya que tener puntos aislados donde $y$ es distinto de cero es inútil. Primero probar que para cualquier punto donde $y \ne 0$, existe un intervalo abierto alrededor de $x$ que $y \ne 0$. Entonces podemos usar el axioma de completitud de reales para ampliar el intervalo de tiempo en ambas direcciones medida de lo $y \ne 0$. Ahora podemos utilizar cualquier método para resolver por $y$ en dicho intervalo. Tenga en cuenta que el método de separación de variables es formalmente válido, por lo que debe utilizar el cambio de las variables de sustitución. Pero el requisito es que el $\frac{dy}{dx}$ es continua, por lo que tenemos que demostrar que! Bien, $y$ es derivable y por lo tanto continua, por lo $2\sqrt{y}$ es continua. Así, obtenemos la solución en el intervalo extendido, y muestra que los $y$ se convierte en cero en exactamente una dirección en este ejemplo. Por lo tanto, después de algunas pruebas que conseguiremos $y = 0$ o $y = \cases{ 0 & \text{if } x \le a \\ (x-a)^2 & \text{if } x > a }$ de $a$.

Alternativa subproof

De hecho, el teorema de sustitución puede ser completamente eliminado de la siguiente manera. En cualquier intervalo de $I$ donde$y \ne 0$,$y'^2 = 4y$, donde "${}'$" denota la derivada con respecto al $x$. Por lo tanto $(y'^2)' = (4y)'$, lo que da $2y'y'' = 4y'$, y, por tanto, $y'' = 2$ desde $y' = 2\sqrt{y} \ne 0$. Por lo tanto $y' = 2x+c$ $I$ de $c$, y, por tanto, $y = x^2+cx+d$ $I$ de $d$. Tenga en cuenta que la mayoría de los pasos mencionados anteriormente no son reversibles y, por tanto, tenemos que comprobar todas las soluciones se obtiene finalmente con el original de la ecuación diferencial. Tendríamos $c^2 = 4d$. Después de la manipulación simple se obtiene el mismo resultado para $y$ $I$ como en el resto de la solución. Las otras partes de la solución todavía necesita estar allí.

Línea de fondo

La separación de variables no es tan simple como se podría pensar. Muchos libros de texto enseñan en realidad es incorrecto.

Answer 3

La idea de dividir el $dy$ e las $dx$ es en realidad un atajo por el siguiente:

Comenzando con un separables variable en la forma DE $$f(x)=g(y)\frac{dy}{dx}$$ then integrate both sides with respect to $x$, so that$$\int f(x)dx=\int g(y)\frac{dy}{dx} dx=\int g(y) dy$$

...$+c$, por supuesto.

Answer 4

Primero hay que entender lo que es un diferencial. Son infinitesimales diferencia entre los valores sucesivos de una variable.

$dy=f'(x)\,dx,$ es la definición matemática de esta expresión.

Por supuesto, $f'(x)= \frac {dy}{dx}$, así que usted puede ver como la razón de cambio de y con respecto de x (siguiendo la definición de un diferencial).

Segundo, la integración de $dy$ rendimientos $y+C$, y la integración de $dx$ rendimientos $x+K$ ambos $C$ $K$ siendo las constantes de integración.

Espero que me aclararon un poco para usted

EDITAR:

Para el caso de $f'(x)=1$

Esto significa $\frac {dy}{dx} = 1$

si la integración de ambas partes en $dy=1dx$ obtener $y=x+k$. –

EDIT2:

Recuerde, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente en ese punto, en una función lineal, la pendiente de la función en sí.

Ver? para cada función de $y=x+k$, todos ellos tienen la misma pendiente, ya que en una función lineal, la constante indica donde la función corta el $x$ eje, pero no tiene nada que ver con la pendiente de la tangente de la función (sí, en este caso)

Answer 5

$dy/dx$ es confuso para mucha gente, porque puede significar varias cosas que unintuitively son todos de la misma. $dy/dx$ es la tasa de cambio con $y$ en términos de $x$. También es la más exacta de la línea tangente entre dos elementos infinitesimales, que es equivalente a la relación de dos elementos infinitesimales.

Si usted acepta la regla de la cadena, a continuación, de manera algebraica de la manipulación de los diferenciales deben parecer más natural, se convierten en multiplicativo. Al menos en cierto grado, $dy/dx$ no representa una fracción, aunque probablemente no pensar en ella de esa manera.

Si usted no se siente cómodo con el uso de seperable DEs, en realidad son sólo un caso especial para el lineal de la DEs, que no utilizan el seperable método. Así que el problema debería mismo remedio pronto.