La estimación de la máxima de un movimiento Browniano en la unidad de intervalo de

Question

Deje $\left(B_t\right)_{t \in \left[0,\infty\right)}$ ser un estándar de movimiento Browniano sobre la probabilidad de espacio $\left(\Omega, \mathcal{A}, P\right)$. Para cada una de las $x \in \left(0, \infty\right)$, dar una cota superior de a $q\left(x\right)$ en $$ P\left(\max_{t \en \left[0,1\right]} B\left(t\right) > x\right) $$

así que el siguiente requisito es satisfecho:

$$ \forall \epsilon \en \left(0, \infty\right)\ \Sigma_{n = 1}^\infty q\left(n\varepsilon\right) < \infty $$

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Intento de solución #1

Considere la posibilidad de Paul Lévy la construcción del movimiento Browniano en el intervalo de $\left[0,1\right]$ como el límite de funciones lineales a trozos $F_n$ con nudos en la diádica fracciones $\frac{m}{2^n} \in \left[0,1\right]$. Deje $\omega \in \Omega$ ser tal que el camino de $t \in \left[0, \infty\right) \mapsto B_t\left(\omega\right)$ es continua. Entonces si $B_d > x$ para algunos diádica fracción, entonces claramente $\max_{t \in \left[0,1\right]} B_t > x$; mientras que si $B_d > x$ sin diádica fracción, entonces, debido a la densidad de la dyadics en la línea real, $\max_{t \in \left[0,1\right]} B_t \leq x$. Por lo tanto, lo que denota el conjunto de diádica fracciones en la unidad de intervalo de $\mathcal{D}$, tenemos

$$ \left\{\max_{t \en \left[0,1\right]} B_t > x\right\} = \bigcup_{d \in \mathcal{D}}\left\{B_d > x\right\} $$

La única manera que conozco para acotar la probabilidad de una unión de arriba es el uso de la subadditivity de la propiedad de la probabilidad de medir:

$$ P\left(\bigcup_{d \in \mathcal{D}}\left\{B_d > x\right\}\right) \leq \sum_{d \in \mathcal{D}}P\left(B_d > x\right) $$

Ahora, $B_d \sim N\left(0, d\right)$ y la más ajustada límite superior de la normalidad de la distribución que estoy familiarizado con es

$$ P\left(N\a la izquierda(0, d\ \ derecho) > x\right) = P\left(N\left(0,1\right) > \frac{x}{\sqrt{d}}\right) \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{x/\sqrt{d}}\exp\left(-\frac{\left(x/\sqrt{d}\right)^2}{2}\right) $$

El problema es que, dado cualquier diádica punto hay una infinidad de otros diádica puntos que se encuentran muy cerca, y por lo tanto el rendimiento de los valores que se encuentran muy cerca de la expresión de la derecha. Por lo tanto, la infinita suma de estas expresiones se vaya al infinito.

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Intento de solución #2

De acuerdo a Wikipedia, $E\left(M\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$ donde $M$ denota $\max_{t \in \left[0,1\right]} B_t$. Ahora, desde la $0$ es casi seguro que no es un punto máximo, $M \geq 0$.s., de ahí que, por la desigualdad de Markov

$$ P\left(M > x\right) \leq \frac{\sqrt{2/\pi}}{x} := q\left(x\right) $$

Hay dos problemas con esta solución:

1. No satisface el requisito de la $\sum q\left(n\varepsilon\right) < \infty$

2. No he aprendido todavía que $E\left(M\right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$. Idealmente, la solución debe estar basada en Lévy la construcción del movimiento Browniano y en la más básica de las propiedades que se pueden derivar de ella.

Answer 1

Tenemos$$\begin{align*} \left\{\max_{t \in [0,1]} B_t> x \right\} &= \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k=1}^{2^n} \{B_{k/2^n}>x\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k=1}^{2^n} \{B_{k/2^n}>x+c_n\} \\ &= \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k=1}^{2^n-1} \{B_{k/2^n}>x+c_n, B_{(k+1)/2^n}-B_{k/2^n} \leq -c_n\} \cup \{B_1>x\}\end{align*}$$

para cualquier secuencia $c_n \downarrow 0$. Para la última igualdad tenga en cuenta que $$\{B_{k/2^n}>x+c_n\} \subseteq \{B_{k/2^n}>x+c_n,B_{(k+1)/2^n}-B_{k/2^n} \leq -c_n\}\cup \{B_{(k+1)/2^n}>x\}.$$

Por lo tanto, por la independencia de los incrementos,

$$\begin{align*} \mathbb{P}\left(\max_{t \in [0,1]} B_t>x \right) &\leq \sum_{n \in \mathbb{N}} \sum_{k=1}^{2^n-1} \mathbb{P}(B_{k/2^n}>x+c_n, B_{(k+1)/2^n}-B_{k/2^n} \leq -c_n) + \mathbb{P}(B_1>x) \\ &\leq \sum_{n \in \mathbb{N}} \sum_{k=1}^{2^n-1} \mathbb{P}(B_{k/2^n}>x) \cdot \mathbb{P}(B_{(k+1)/2^n}-B_{k/2^n} \leq -c_n)+ \mathbb{P}(B_1>x). \tag{1} \end{align*}$$

Si elegimos $c_n = 2^{-n/4}$, entonces podemos ver desde la estacionariedad de los incrementos y la propiedad de escala que

$$\begin{align*} \mathbb{P}(B_{k/2^n}>x) \cdot \mathbb{P}(B_{(k+1)/2^n}-B_{k/2^n} \leq -c_n) &=\mathbb{P}(B_{k/2^n}>x) \cdot \mathbb{P}(2^{-n/2}B_1 \leq -c_n) \\ &= \mathbb{P}(B_{k/2^n}>x) \cdot \mathbb{P}(B_1 \geq 2^{n/4}) \\ &\leq \frac{1}{x^2} \mathbb{E}(B_{k/2^n}^2) \cdot \frac{1}{2^{2n}} \mathbb{E}(B_1^8) \\ &\leq \frac{C}{x^2 \cdot 2^{2n}} \end{align*}$$

para $C:= \mathbb{E}(B_1^8)<\infty$ cuando se utilizó la desigualdad de Markov en el anteproyecto de la desigualdad. Del mismo modo, $$\mathbb{P}(B_1>x) \leq \frac{1}{x^2} \mathbb{E}(B_1^2) = \frac{1}{x^2}.$$ Plugging these estimates into $(1)$ los rendimientos

$$\mathbb{P}\left( \max_{t \in [0,1]} B_t > x \right) \leq \frac{C'}{x^2}.$$

Answer 2

Recordemos que $(B_t)_{t \geq 0}$ es un (continua) martingala con respecto a la canónica de filtración. Por lo tanto, Doob la máxima desigualdad muestra

$$\mathbb{E} \left( \sup_{t \in [0,1]} B_t^2 \right) \leq 4 \mathbb{E}(B_1^2)=4.$$

Por lo tanto, por la desigualdad de Markov

$$\mathbb{P} \left( \sup_{t \in [0,1]} B_t > x \right) \leq \frac{1}{x^2} \mathbb{E} \left( \sup_{t \in [0,1]} B_t^2 \right) \leq \frac{4}{x^2}.$$

Observación Mediante la reflexión principio, uno puede mostrar que $\max_{t \in [0,1]} B_t \sim |B_1|$ (ver, por ejemplo, el movimiento Browniano - Una Introducción a los Procesos Estocásticos-René Schilling/Lothar Partzsch).